Determine a posição relativa dos planos \pi_{1}: 2 x-y+z=3 e \pi_{2}: 4 x-2 y+2 z=1.

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa dos planos \pi_{1}: 2x - y + z = 3
e \pi_{2}: 4x - 2y + 2z = 1.
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3: para comparar dois planos, vamos usar o vetor normal de cada um, pois a direção desse vetor indica inclinação do plano.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano.
Para \pi_{1}, o normal é
\mathbf{n}_{1} = (2,\, -1,\, 1).
Para \pi_{2}, o normal é
\mathbf{n}_{2} = (4,\, -2,\, 2).

Passo 3

Verificamos se os normais são proporcionais, isto é, se existe \lambda tal que \mathbf{n}_{2} = \lambda\,\mathbf{n}_{1}.
Notamos que
(4, -2, 2) = 2\,(2, -1, 1),
logo \mathbf{n}_{2} = 2\,\mathbf{n}_{1}. Isso significa que os planos têm a mesma orientação e, portanto, são paralelos (ou coincidentes).

Passo 4

Para decidir entre paralelos coincidentes ou paralelos distintos, comparamos também os termos constantes. Se \pi_{2} fosse exatamente 2 vezes \pi_{1}, o lado direito de \pi_{1} deveria ser 2\cdot3 = 6, mas em \pi_{2} é 1. Como 1 \neq 6, não são o mesmo plano.

Resposta

Os planos são paralelos e distintos.

Exercícios relacionados