Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,-1,3), e é perpendicular à reta s: x-13=y2=z+2-1.

Passo 1

O enunciado pede uma reta r que passe por A=(2,-1,3) e seja perpendicular à reta s. Para que duas retas em R^3 sejam perpendiculares, elas devem se intersectar num ponto e os seus vetores-direção devem ter produto escalar zero. Logo, nosso plano de ataque é: (i) parametrizar s; (ii) achar o ponto P0 de s onde a reta que liga A a P0 seja perpendicular a s; (iii) usar A e P0 para escrever r.

Passo 2

Parametrizamos
O vetor-direção de .

Passo 3

Um ponto genérico de s é
P(t) = l(1+3t,;2t,;-2 - tr)
Queremos P0=P(t0) tal que AP0cdotd=0. Como
AP(t) = l(1+3t-2,;2t+1,;-2-t-3r) =(3t-1,;2t+1,;-5-t),
temos a condição
(3t-1,,2t+1,,-5-t)cdot(3,2,-1)=0

Passo 4

Calculando o produto escalar:
3(3t-1)+2(2t+1)-1(-5-t) =9t-3+4t+2+5+t =14t+4=0 Longrightarrow t0=-tfrac27
Então
P0 = l(1+3l(-tfrac27r),;2l(-tfrac27r),;-2-l(-tfrac27r)r) =l(tfrac17,,-tfrac47,,-tfrac127r)
O vetor-direção de r é AP0=(tfrac17-2,,-tfrac47+1,,-tfrac127-3), que equivale a (-13,3,-33) (multiplicando por 7 e invertendo sinal).

Passo 5

Escolhendo como vetor-direção de r o vetor v=(13,-3,33) (que é paralelo a P0A), a forma paramétrica de r fica
r: x = 2 + 13,lambda, y = -1 - 3,lambda, z = 3 + 33,lambda, lambdainR,
e a forma simétrica é
x-213 ;=;y+1-3;=;z-333,

Resposta

A equação simétrica da reta r é
x-213 = y+1-3 = z-333

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