Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(-1,-3,1), que seja concorrente com a reta r:lx=3 z-1 y=2 z-2 e seja ortogonal ao vetor v=(2,0,-1).
RESP: s: x+1=y+3-1=z 12

Passo 1

O enunciado pede a reta s que passa por P(-1,-3,1), concorre (intersecta) com a reta
r: x=3z-1, y=2z-2
e é ortogonal ao vetor vec v=(2,0,-1).
Conteúdo: parametrização de reta em R^3, condição de concorrência (existência de ponto comum) e ortogonalidade de vetores.

Passo 2

Parametrizamos um ponto genérico Q em r usando parâmetro u:
Q=(,3u-1,;2u-2,;u,)
Como s deve passar por P e por Q, seu vetor diretor é
vec d = Q - P = l(3u-1 -(-1),;2u-2 -(-3),;u-1r) = l(3u,;2u+1,;u-1r)

Passo 3

Para que s seja ortogonal a vec v vale
vec dcdotvec v =0 Longrightarrow (3u)cdot 2 + (2u+1)cdot 0 + (u-1)cdot(-1)=0
Isso dá
6u - (u-1)=0 Longrightarrow 5u+1=0 Longrightarrow u=-tfrac15

Passo 4

Com u=-tfrac15 obtemos
Q=l(-tfrac85,,-tfrac125,,-tfrac15r),
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vec d = Q-P = l(-tfrac85+1,,-tfrac125+3,,-tfrac15-1r) = l(-tfrac35,;tfrac35,,-tfrac65r)
Multiplicando por 5 e simplificando, vec d fica proporcional a (-1,1,-2).

Passo 5

Usando P(-1,-3,1) e vetor diretor vec d=(1,-1,2) (multiplicamos por -1 para forma mais limpa), a forma simétrica de s é
s: x-(-1)1 = y-(-3)-1 = z-12

Resposta

s: x+1 = y+3-1 = z-12

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