Determine as equação da reta que passa pelo ponto (3,1) e tal que a distância desta reta ao ponto (-1,1) é igual a 2 raiz2. (Duas soluções)

Passo 1

O enunciado pede as retas que passam por (3,1) e cuja distância ao ponto (-1,1) é 2raiz2. O que vamos usar:
  1. a forma geral da reta que passa por um ponto com coeficiente angular m;
  2. a fórmula da distância de um ponto a uma reta em forma Ax+By+C=0.

Passo 2

Seja m o coeficiente angular da reta. A forma ponto-inclinação é
y - 1 = m,(x - 3)
Para usar a fórmula da distância, escrevemos em forma Ax+By+C=0. Reorganizando, obtemos
m x - y + (1 - 3m) = 0,
ou seja
A = m, B = -1, C = 1 - 3m

Passo 3

A distância do ponto (-1,1) até essa reta é
d = l|Acdot(-1) + Bcdot1 + Cr|raizA^2 + B^2 = l|mcdot(-1) -1 + (1-3m)r|raizm^2 + 1 = l|-4mr|raizm^2 + 1 = 4,|m|raizm^2+1
Queremos d = 2raiz2, logo
4,|m|raizm^2+1 = 2raiz2

Passo 4

Isolando e elevando ao quadrado,
4,|m| = 2raiz2,raizm^2+1 Longrightarrow 2,|m| = raiz2,raizm^2+1 Longrightarrow 4m^2 = 2(m^2 + 1)
Longrightarrow 2m^2 = 2 Longrightarrow m^2 = 1 Longrightarrow m = pm 1

Passo 5

Para cada m calculamos C = 1 - 3m e escrevemos a reta:
  1. Se m = 1, então C = 1-3 = -2. A reta é
    x - y - 2 = 0 Long<=ftrightarrow y = x - 2
  2. Se m = -1, então C = 1 -3(-1) = 4. A reta é
    -x - y + 4 = 0 Long<=ftrightarrow x + y - 4 = 0 Long<=ftrightarrow y = 4 - x

Resposta

As duas retas são
boxedy = x - 2 e boxedy = 4 - x

Exercícios relacionados