Mostre que a equação do plano que passa pelo ponto (x0, y0, z0) e é paralelo as retas:
x-a1l1=y-b1l2=z-c1l3
x-a2m1=y-b 2m2=z-c2m3
pode ser escrita como:
|lll x-x0 & y-y0 & z-z0 l1 & l2 & l3 m1 & m2 & m3 |=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por P0=(x0,y0,z0) e é paralelo às retas de vetores diretores
l=(l1,l2,l3) e m=(m1,m2,m3)
O conteúdo chave é que, para um plano, qualquer vetor diretor contido nele é ortogonal ao seu vetor normal. Vamos usar produto vetorial e produto escalar para chegar à forma determinantal.

Passo 2

Como o plano é paralelo às duas retas, ambos os vetores l e m estão contidos no plano. Logo, seu vetor normal n deve ser ortogonal a l e a m. Podemos definir
n ;=;ltimesm
Por construção temos
ncdotl=0 e ncdotm=0

Passo 3

A equação vetorial do plano com ponto P0 e normal n é
ncdotl(,(x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0
Chamando r=(x,y,z) e r0=(x0,y0,z0), isso vira
ncdot(r-r0)=0

Passo 4

Substituindo n=ltimesm e escrevendo o produto escalar como produto misto, obtemos
(ltimesm)cdot(r-r0) =l[r-r0,,l,,mr] =0
Mas o produto misto é exatamente o determinante cujas linhas são r-r0, l e m. Assim concluímos que a equação do plano é
| x - x0 & y - y0 & z - z0 l1 & l2 & l3 m1 & m2 & m3 | = 0

Resposta

| x - x0 & y - y0 & z - z0 l1 & l2 & l3 m1 & m2 & m3 | = 0

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