Determine o ponto de intersecção entre a reta que passa pelos pontos (3,0,1) e (1,2,1) e a reta que passa pelos pontos (4,1,-1) e (1,1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3: a primeira passa por P1=(3,0,1) e P2=(1,2,1), e a segunda passa por Q1=(4,1,-1) e Q2=(1,1,2). Vamos estudar interseção de retas no espaço usando parametrização e resolver o sistema para encontrar os parâmetros em que as coordenadas coincidem.

Passo 2

Para a reta que passa por P1 e P2, o vetor direção é
v1 = P2 - P1 = (1-3,;2-0,;1-1) = (-2,,2,,0)
Logo sua parametrização é
r1(t) = P1 + t,v1 = (3,,0,,1) + t,(-2,,2,,0) = (,3-2t,;2t,;1,)

Passo 3

Para a reta que passa por Q1 e Q2, o vetor direção é
v2 = Q2 - Q1 = (1-4,;1-1,;2-(-1)) = (-3,,0,,3)
Sua parametrização é
r2(s) = Q1 + s,v2 = (4,,1,,-1) + s,(-3,,0,,3) = (,4-3s,;1,;-1+3s,)

Passo 4

Para que as retas se intersectem, deve existir (t,s) tais que
r1(t) = r2(s),
isto é, o sistema de coordenadas
3 - 2t = 4 - 3s, 2t = 1, 1 = -1 + 3s
deve ter solução.

Passo 5

Da segunda equação 2t = 1 vem
t = tfrac12
Da terceira 1 = -1 + 3s segue
3s = 2Longrightarrow s = tfrac23
Substituindo em 3 - 2t e em 4 - 3s obtemos
3 - 2cdottfrac12 = 2 e 4 - 3cdottfrac23 = 2,
logo o sistema é compatível e as retas se cruzam.

Passo 6

O ponto de interseção é dado por r1(tfrac12), ou seja,
(3 - 2cdottfrac12,;2cdottfrac12,;1) = (2,,1,,1)

Resposta

O ponto de interseção é (2,,1,,1).

Exercícios relacionados