Determine a equação da reta que passa pelos pontos \mathrm{A}(-1,-2) e \mathrm{B}(5,2).

Passo 1

O que o problema pede: determinar a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,-2) e B(5,2).
Informações dadas:
\;A(-1,-2) (coordenadas x_A=-1, y_A=-2).
\;B(5,2) (coordenadas x_B=5, y_B=2).

Passo 2

Primeiro passo matemático: calcular o coeficiente angular (inclinação) da reta, chamado de m.
A fórmula do coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Explicando: m mede quanto a reta sobe (variação em y) quando avançamos uma unidade em x (variação em x). Numerador é a diferença das ordenadas, denominador é a diferença das abscissas.
Aplicando aos pontos A e B:
m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{2-(-2)}{5-(-1)} = \frac{2+2}{5+1} = \frac{4}{6}.
Simplificando \frac{4}{6} dividindo numerador e denominador por 2:
m = \frac{2}{3}.

Passo 3

Agora usamos a forma ponto-inclinação (point-slope), que é muito prática na prova. A fórmula é
y-y_1 = m(x-x_1),
onde (x_1,y_1) é um ponto da reta e m é o coeficiente angular. Aqui podemos usar A ou B; vou usar A(-1,-2).
Substituindo m=\frac{2}{3} e A(-1,-2):
y-(-2)=\frac{2}{3}\bigl(x-(-1)\bigr).
Simplificando os sinais:
y+2=\frac{2}{3}(x+1).

Passo 4

Passo para a forma mais conhecida y=mx+b (forma reduzida ou “slope-intercept”). Expandimos o lado direito e isolamos y.
Expandindo:
y+2=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}.
Subtraindo 2 de ambos os lados (lembrando que 2=\frac{6}{3}):
y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}-2=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}-\frac{6}{3}=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}.
Então a forma \;y=mx+b\; fica
y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3},
onde m=\frac{2}{3} e o coeficiente linear (ordenada na origem) é b=-\frac{4}{3}.

Passo 5

Se você preferir a forma geral ax+by+c=0 (útil em alguns concursos/provas), multiplicamos por 3 para eliminar frações e rearranjamos:
Multiplicando y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3} por 3:
3y=2x-4.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
2x-3y-4=0.
Essa é a forma geral da reta, com coeficientes inteiros.

Passo 6

Vamos checar rapidamente (sempre bom na prova): substituir os pontos originais na forma 2x-3y-4=0.
Para A(-1,-2):
2(-1)-3(-2)-4=-2+6-4=0.
Para B(5,2):
2\cdot5-3\cdot2-4=10-6-4=0.
Como ambos satisfazem a equação, está tudo correto. Vai com fé — você mandou bem!

Resposta

y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}
2x-3y-4=0

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