Escreva uma equação da reta que passa pelo ponto (3,0) e tem inclinação de 60^{\circ} com o eixo das abcissas.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelo ponto (3,0) e forma um ângulo de 60^\circ com o eixo das abscissas.
Informações dadas:
\bullet ponto pelo qual a reta passa: (x_0,y_0)=(3,0).
\bullet inclinação (ângulo com o eixo x): \theta=60^\circ.
Pergunta: escrever a equação dessa reta.

Passo 2

Entendendo o que é inclinação e como obter o coeficiente angular.
O coeficiente angular da reta, que chamamos de m, mede a inclinação em termos de “subida por unidade de avanço” (rise/run). Há uma relação direta entre o ângulo \theta que a reta faz com o eixo x e esse coeficiente:
m=\tan(\theta).
Aqui \tan(\theta) é a tangente do ângulo \theta, que numa razão de triângulo retângulo é “cateto oposto dividido por cateto adjacente”. Por exemplo, se \theta=45^\circ então \tan(45^\circ)=1 (subida igual ao avanço).

Passo 3

Calcular o coeficiente angular para \theta=60^\circ.
Usamos a identidade conhecida da trigonometria para 60^\circ:
m=\tan(60^\circ)=\sqrt{3}.
Explicação rápida do valor: em um triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ as razões dos lados são 1:\sqrt{3}:2, então a tangente de 60^\circ (oposto/adjacente) vale \sqrt{3}.

Passo 4

Escolher a forma da equação da reta para usar.
Uma forma muito prática para encontrar a reta quando conhecemos um ponto (x_0,y_0) e o coeficiente angular m é a forma ponto-declive (point-slope):
y-y_0=m(x-x_0),
onde x_0,y_0 é o ponto dado e m é o coeficiente angular. Essa fórmula vem direto da definição de inclinação: \dfrac{y-y_0}{x-x_0}=m.

Passo 5

Aplicar a fórmula ponto-declive com os valores que temos. Substituímos x_0=3, y_0=0 e m=\sqrt{3}:
y-0=\sqrt{3}\,(x-3).
Agora simplificamos e colocamos em forma explícita y=mx+b. Primeiro expandimos o lado direito:
y=\sqrt{3}\,x-3\sqrt{3}.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): substituindo x=3 na equação encontrada temos
y=\sqrt{3}\cdot 3-3\sqrt{3}=0,
que é o y_0 do ponto dado — perfeito. O coeficiente de x é \sqrt{3}, que corresponde ao declive calculado a partir de 60^\circ. Tudo consistente.

Resposta

y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3}

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