Uma escada de 11 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 4 m da parede?

Passo 1

O enunciado mostra uma escada de comprimento constante de 11 m apoiada numa parede vertical, cujo pé se afasta da parede a uma velocidade constante de 3 m/s. Precisamos usar relações de taxas relacionadas à equação da circunferência que descreve a posição da escada para achar a velocidade de descida da parte de cima no instante em que o pé está a 4 m da parede.

Passo 2

Seja x(t) a distância horizontal do pé da escada até a parede e y(t) a altura da extremidade superior sobre o solo. Como o comprimento da escada é fixo, vale sempre
x^2 + y^2 = 11^2 = 121.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, temos
2x\,\frac{dx}{dt} + 2y\,\frac{dy}{dt} = 0.

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dt}, obtemos
\frac{dy}{dt} = -\,\frac{x}{y}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 5

No instante em que x=4 m, a altura y é dada por
y = \sqrt{121 - 4^2} = \sqrt{105}.

Passo 6

Substituindo x=4, y=\sqrt{105} e \frac{dx}{dt}=3 m/s na fórmula de \frac{dy}{dt}, resulta
\frac{dy}{dt} = -\,\frac{4}{\sqrt{105}}\times 3 = -\,\frac{12}{\sqrt{105}} \approx -1{,}17\text{ m/s}.
O sinal negativo indica que a extremidade superior está descendo.

Resposta

A extremidade superior desce com velocidade \displaystyle -\frac{12}{\sqrt{105}}\approx -1{,}17 m/s no instante pedido.

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