Determine a equação da reta no plano
que contém o ponto
e que é perpendicular à reta
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta no plano
que contém o ponto
e que é perpendicular à reta
.
Informações dadas:
- A reta dada é
. - A reta procurada passa pelo ponto
. - A reta procurada é perpendicular à reta dada.
Passo 2
Entender o que significa “inclinação” (ou coeficiente angular) de uma reta em forma
.
Explicação didática:
- Numa reta escrita como
, o número é o coeficiente angular (ou inclinação). Ele indica quanto a reta sobe ou desce quando aumenta uma unidade. - Exemplo simples: se
, para aumentar em a reta aumenta em . Se , quando aumenta , diminui .
Aplicando ao caso:
- A reta dada é
, logo o seu coeficiente angular é .
Passo 3
Regra para retas perpendiculares.
Explicação didática:
- Duas retas não verticais são perpendiculares se, e somente se, o produto dos seus coeficientes angulares for
. - Em outras palavras, se uma reta tem coeficiente angular
, a reta perpendicular a ela terá coeficiente angular (o chamado negativo do recíproco). - Exemplo: se uma reta tem
, a perpendicular terá .
Aplicando ao caso:
- Como
, o coeficiente angular da reta procurada será
Passo 4
Montar a equação da reta que passa por um ponto conhecido e tem um coeficiente angular dado (fórmula ponto-inclinação).
Explicação didática:
- A fórmula ponto-inclinação diz que a reta com coeficiente angular
que passa pelo ponto é
- Nessa fórmula,
e são as coordenadas do ponto conhecido e é o coeficiente angular.
Aplicando ao caso:
- Aqui
e o ponto é . Substituindo na fórmula ponto-inclinação:
Passo 5
Simplificar a equação para a forma
(forma reduzida) e também apresentar a forma padrão.
Desenvolvimento passo a passo:
- Expandir o lado direito:
- Somar
em ambos os lados (observe que ):
- Somar as frações:
Forma padrão (multiplicando tudo por
para eliminar denominadores):
ou rearranjando:
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
- Produto dos coeficientes angulares:
, logo as retas são perpendiculares. - Substituir o ponto
em : , logo o ponto pertence à reta.