Determine a equação da reta no plano x y que contém o ponto (4,1) e que é perpendicular à reta y=3 x+5.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta no plano x y que contém o ponto (4,1) e que é perpendicular à reta y=3x+5.
Informações dadas:
  • A reta dada é y=3x+5.
  • A reta procurada passa pelo ponto (4,1).
  • A reta procurada é perpendicular à reta dada.

Passo 2

Entender o que significa “inclinação” (ou coeficiente angular) de uma reta em forma y=mx+b.
Explicação didática:
  • Numa reta escrita como y=mx+b, o número m é o coeficiente angular (ou inclinação). Ele indica quanto a reta sobe ou desce quando x aumenta uma unidade.
  • Exemplo simples: se m=2, para aumentar x em 1 a reta aumenta y em 2. Se m=-\tfrac{1}{2}, quando x aumenta 1, y diminui \tfrac{1}{2}.
Aplicando ao caso:
  • A reta dada é y=3x+5, logo o seu coeficiente angular é m_{\text{dada}}=3.

Passo 3

Regra para retas perpendiculares.
Explicação didática:
  • Duas retas não verticais são perpendiculares se, e somente se, o produto dos seus coeficientes angulares for -1.
  • Em outras palavras, se uma reta tem coeficiente angular m, a reta perpendicular a ela terá coeficiente angular -\tfrac{1}{m} (o chamado negativo do recíproco).
  • Exemplo: se uma reta tem m=2, a perpendicular terá m_{\perp}=-\tfrac{1}{2}.
Aplicando ao caso:
  • Como m_{\text{dada}}=3, o coeficiente angular da reta procurada será
m_{\perp}=-\frac{1}{3}.

Passo 4

Montar a equação da reta que passa por um ponto conhecido e tem um coeficiente angular dado (fórmula ponto-inclinação).
Explicação didática:
  • A fórmula ponto-inclinação diz que a reta com coeficiente angular m que passa pelo ponto (x_0,y_0) é
y-y_0=m(x-x_0).
  • Nessa fórmula, x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto conhecido e m é o coeficiente angular.
Aplicando ao caso:
  • Aqui m=-\tfrac{1}{3} e o ponto é (4,1). Substituindo na fórmula ponto-inclinação:
y-1=-\frac{1}{3}(x-4).

Passo 5

Simplificar a equação para a forma y=mx+b (forma reduzida) e também apresentar a forma padrão.
Desenvolvimento passo a passo:
  • Expandir o lado direito:
y-1=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}.
  • Somar 1 em ambos os lados (observe que 1=\tfrac{3}{3}):
y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}+\frac{3}{3}.
  • Somar as frações:
y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}.
Forma padrão (multiplicando tudo por 3 para eliminar denominadores):
3y=-x+7
ou rearranjando:
x+3y-7=0.
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Produto dos coeficientes angulares: 3\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)=-1, logo as retas são perpendiculares.
  • Substituir o ponto (4,1) em x+3y-7: 4+3\cdot1-7=0, logo o ponto pertence à reta.

Resposta

y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{7}{3}

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