Encontre o domínio das funções dos itens abaixo. f(x)=\sqrt{-2 x^{2}+6 x-2}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função f(x)=\sqrt{-2 x^{2}+6 x-2}.
Informações dadas:
A função é uma raiz quadrada com radicando -2 x^{2}+6 x-2.
Precisa-se determinar todos os valores de x para os quais a expressão dentro da raiz é válida (ou seja, não gera número complexo).
Passo 2
Regra básica (explicação didática): uma raiz quadrada real exige que o radicando seja maior ou igual a zero. Isto é, para f(x) estar definida deve valer
-2 x^{2}+6 x-2 \ge 0.
Aqui cada símbolo significa:
x é a variável.
-2 x^{2}+6 x-2 é o radicando; queremos os x que tornam essa expressão não negativa.
Passo 3
Organizar a desigualdade para facilitar a solução. Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte o sentido), obtemos
2 x^{2} - 6 x + 2 \le 0.
É útil dividir por 2 (positivo, não altera o sentido):
x^{2} - 3x + 1 \le 0.
Passo 4
Vamos encontrar as raízes do polinômio x^{2}-3x+1 usando a fórmula quadrática (ensino rápido da fórmula): para ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
Denotando r_{1}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} e r_{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, tem-se r_{1}<r_{2}.
Passo 5
Análise do sinal (explicação didática): o polinômio x^{2}-3x+1 é uma parábola com coeficiente a=1>0, ou seja, “abre para cima”. Para uma parábola que abre para cima, a expressão x^{2}-3x+1 é negativa ou zero entre as raízes e positiva fora delas. Portanto a desigualdade
x^{2}-3x+1 \le 0
é satisfeita exatamente para os x no intervalo fechado entre as raízes:
r_{1} \le x \le r_{2},
ou seja
\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\le x \le \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.
Passo 6
Verificação alternativa (completar o quadrado) — para fixar o conceito: escrevendo o radicando como centro \pm raio,