Encontre o domínio das funções dos itens abaixo.
f(x)=\sqrt{-2 x^{2}+6 x-2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função
f(x)=\sqrt{-2 x^{2}+6 x-2}.
Informações dadas:
  • A função é uma raiz quadrada com radicando -2 x^{2}+6 x-2.
  • Precisa-se determinar todos os valores de x para os quais a expressão dentro da raiz é válida (ou seja, não gera número complexo).

Passo 2

Regra básica (explicação didática): uma raiz quadrada real exige que o radicando seja maior ou igual a zero. Isto é, para f(x) estar definida deve valer
-2 x^{2}+6 x-2 \ge 0.
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável.
  • -2 x^{2}+6 x-2 é o radicando; queremos os x que tornam essa expressão não negativa.

Passo 3

Organizar a desigualdade para facilitar a solução. Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte o sentido), obtemos
2 x^{2} - 6 x + 2 \le 0.
É útil dividir por 2 (positivo, não altera o sentido):
x^{2} - 3x + 1 \le 0.

Passo 4

Vamos encontrar as raízes do polinômio x^{2}-3x+1 usando a fórmula quadrática (ensino rápido da fórmula): para ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-3, c=1. Então o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 9-4 = 5.
As raízes são
x = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.
Denotando r_{1}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} e r_{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, tem-se r_{1}<r_{2}.

Passo 5

Análise do sinal (explicação didática): o polinômio x^{2}-3x+1 é uma parábola com coeficiente a=1>0, ou seja, “abre para cima”. Para uma parábola que abre para cima, a expressão x^{2}-3x+1 é negativa ou zero entre as raízes e positiva fora delas. Portanto a desigualdade
x^{2}-3x+1 \le 0
é satisfeita exatamente para os x no intervalo fechado entre as raízes:
r_{1} \le x \le r_{2},
ou seja
\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\le x \le \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (completar o quadrado) — para fixar o conceito: escrevendo o radicando como centro \pm raio,
-2x^{2}+6x-2 = -2\bigl(x^{2}-3x+1\bigr) = -2\Bigl((x-\tfrac{3}{2})^{2}-\tfrac{5}{4}\Bigr) = -2(x-\tfrac{3}{2})^{2} + \tfrac{5}{2}.
Daí -2x^{2}+6x-2 \ge 0 equivale a
-2(x-\tfrac{3}{2})^{2} + \tfrac{5}{2} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-\tfrac{3}{2})^{2} \le \tfrac{5}{4},
que dá
\bigl|x-\tfrac{3}{2}\bigr| \le \tfrac{\sqrt{5}}{2},
isto leva ao mesmo intervalo
\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\le x \le \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.
Essa forma mostra geometricamente que o domínio é um segmento centrado em \tfrac{3}{2} com “meio-intervalo” \tfrac{\sqrt{5}}{2}.

Resposta

\left[\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right]

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