Um projétil é lançado verticalmente, para cima, e sua trajetória é uma curva de equação
, onde
é o espaço percorrido em metros, em t segundos. Determine a altura máxima atingida por esse projétil, em metros.
Passo 1
O enunciado dá a posição (altura) do projétil em função do tempo por
, onde
está em metros e
em segundos.
O que se pede: determinar a altura máxima atingida pelo projétil, em metros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: determinar a altura máxima atingida pelo projétil, em metros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função posição é
. - A variável é
(tempo, em segundos). - A altura máxima corresponde ao máximo da função quadrática
.
Passo 2
Entendendo o tipo de função e onde está o máximo (explicação didática).
Uma função da forma é uma parábola no plano
.
Uma função da forma
- Se
, a parábola abre para cima e tem um mínimo. - Se
, a parábola abre para baixo e tem um máximo.
Aqui, portanto a parábola abre para baixo e existe um único valor de em que é máximo (o vértice da parábola).
Métodos possíveis para encontrar o vértice: completar o quadrado (álgebra) ou derivar e achar onde a derivada é zero (cálculo). Vou usar completar o quadrado porque é um método algébrico simples que não exige cálculo diferencial e é ótimo para provas sem derivadas; depois mostro rapidamente o método com derivada como verificação.
Passo 3
Completar o quadrado passo a passo (método escolhido).
Parto da função dada:
Parto da função dada:
Fatoro
nos termos que envolvem
:
Agora vou transformar
num quadrado perfeito mais uma constante. Para completar o quadrado, uso que
Aqui calculei
e
. Substituindo:
Voltando para
:
Distribuindo o
:
Calculo
:
Portanto a forma completada é
Nessa forma é fácil ver o máximo: o termo
é sempre menor ou igual a zero (porque um quadrado é
e o coeficiente
é negativo). O máximo ocorre quando o quadrado é zero, isto é, quando
, ou seja
s. Substituindo esse
, o valor máximo de
é
Passo 4
Verificação pelo método da derivada (opcional, para entender outra técnica).
A derivada da posição em relação ao tempo dá a velocidade: calcular :
A derivada da posição em relação ao tempo dá a velocidade: calcular
Para extremantes, resolvemos
:
A segunda derivada é
, o que confirma que é um máximo. Substituindo na função,
Confirma-se
metros.
Resposta
250 m