Um projétil é lançado verticalmente, para cima, e sua trajetória é uma curva de equação S=-40 t^{2}+200 t, onde S é o espaço percorrido em metros, em t segundos. Determine a altura máxima atingida por esse projétil, em metros.

Passo 1

O enunciado dá a posição (altura) do projétil em função do tempo por S(t) = -40\,t^{2} + 200\,t, onde S está em metros e t em segundos.
O que se pede: determinar a altura máxima atingida pelo projétil, em metros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função posição é \,S(t) = -40\,t^{2} + 200\,t\,.
  • A variável é t (tempo, em segundos).
  • A altura máxima corresponde ao máximo da função quadrática S(t).

Passo 2

Entendendo o tipo de função e onde está o máximo (explicação didática).
Uma função da forma \,S(t)=at^{2}+bt+c\, é uma parábola no plano t\times S.
  • Se a>0, a parábola abre para cima e tem um mínimo.
  • Se a<0, a parábola abre para baixo e tem um máximo.
    Aqui a=-40<0, portanto a parábola abre para baixo e existe um único valor de t em que S(t) é máximo (o vértice da parábola).
    Métodos possíveis para encontrar o vértice: completar o quadrado (álgebra) ou derivar e achar onde a derivada é zero (cálculo). Vou usar completar o quadrado porque é um método algébrico simples que não exige cálculo diferencial e é ótimo para provas sem derivadas; depois mostro rapidamente o método com derivada como verificação.

Passo 3

Completar o quadrado passo a passo (método escolhido).
Parto da função dada:
S(t) = -40\,t^{2} + 200\,t.
Fatoro -40 nos termos que envolvem t:
S(t) = -40\bigl(t^{2} - 5t\bigr).
Agora vou transformar t^{2}-5t num quadrado perfeito mais uma constante. Para completar o quadrado, uso que
t^{2}-5t = \bigl(t - \tfrac{5}{2}\bigr)^{2} - \bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}.
Aqui calculei \tfrac{5}{2}=2{,}5 e \bigl(2{,}5\bigr)^{2}=6{,}25. Substituindo:
t^{2}-5t = \bigl(t-2{,}5\bigr)^{2} - 6{,}25.
Voltando para S(t):
S(t) = -40\Bigl(\bigl(t-2{,}5\bigr)^{2} - 6{,}25\Bigr).
Distribuindo o -40:
S(t) = -40\bigl(t-2{,}5\bigr)^{2} + 40\cdot 6{,}25.
Calculo 40\cdot 6{,}25:
40\cdot 6{,}25 = 250.
Portanto a forma completada é
S(t) = -40\bigl(t-2{,}5\bigr)^{2} + 250.
Nessa forma é fácil ver o máximo: o termo -40\bigl(t-2{,}5\bigr)^{2} é sempre menor ou igual a zero (porque um quadrado é \ge 0 e o coeficiente -40 é negativo). O máximo ocorre quando o quadrado é zero, isto é, quando t-2{,}5=0, ou seja t=2{,}5 s. Substituindo esse t, o valor máximo de S é
S_{\max} = 250\\ \text{metros}.

Passo 4

Verificação pelo método da derivada (opcional, para entender outra técnica).
A derivada da posição em relação ao tempo dá a velocidade: calcular \,S'(t)\,:
S'(t) = \dfrac{d}{dt}\bigl(-40t^{2}+200t\bigr) = -80t + 200.
Para extremantes, resolvemos S'(t)=0:
-80t + 200 = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \dfrac{200}{80} = 2{,}5\\ \text{s}.
A segunda derivada é S''(t) = -80 < 0, o que confirma que é um máximo. Substituindo na função,
S(2{,}5) = -40(2{,}5)^{2} + 200(2{,}5) = -40\cdot 6{,}25 + 500 = -250 + 500 = 250.
Confirma-se S_{\max}=250 metros.

Resposta

250 m

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