Determine a equação da reta tangente à curva x^6+2 x=3 y^6+y^5-y^2 no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^6 + 2x = 3y^6 + y^5 - y^2
e pede a reta tangente no ponto (1,1). Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter y'(x) e depois calcular o coeficiente angular em (1,1).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x e usando a regra da cadeia, temos:
ddxl(x^6 + 2xr) = ddxl(3y^6 + y^5 - y^2r)
No lado esquerdo
ddx(x^6) + ddx(2x) = 6x^5 + 2
No lado direito, aplicando ddx(y^n)=n,y^n-1y':
ddx(3y^6) + ddx(y^5) - ddx(y^2) = 18y^5,y' +5y^4,y' -2y,y' = (18y^5 +5y^4 -2y),y'
Assim obtemos a equação
6x^5 + 2 = (18y^5 +5y^4 -2y),y'

Passo 3

Isolando y',
y' = 6x^5 + 218y^5 +5y^4 -2y
Avaliaremos em (x,y)=(1,1):
6cdot1^5 +2 = 6+2 =8, 18cdot1^5 +5cdot1^4 -2cdot1 = 18+5-2 =21,
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y'(1,1) = 821

Passo 4

A reta tangente em (1,1) com coeficiente angular m=tfrac821 é dada por
y-1 = 821(x-1)
Colocando em forma explícita:
y = 821x +l(1 - 821r) = 821x + 1321

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 821x + 1321

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