Determine a equação da reta tangente à curva f(x)=e^x^2 sin (2 x+pi) no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva f(x)=e^x^2sin(2x+pi) no ponto (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, montar a equação da reta.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia para calcular f'(x). Definindo
u(x)=e^x^2, u'(x)=2x,e^x^2,
v(x)=sin(2x+pi), v'(x)=2cos(2x+pi),
temos pela regra do produto
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =2x,e^x^2sin(2x+pi)+2e^x^2cos(2x+pi)

Passo 3

Agora avaliamos em x=0:
f(0)=e^0sin(pi)=1cdot0=0,
f'(0)=2cdot0cdot e^0sin(pi)+2e^0cos(pi)=0+2cdot(-1)=-2

Passo 4

A equação da reta tangente a f em (0,0) com coeficiente angular m=f'(0) é
y = m,(x-0) + 0,
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y = -2x

Resposta

y = -2x

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