Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=ln ((xx-1)^2)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=ln!l(l(tfracxx-1r)^2r)
O conteúdo envolve simplificação usando propriedades de logaritmo, estudo de domínio, assíntotas, limites nas fronteiras do domínio, monotonia e forma geral dos ramos para depois desenhar o esboço.

Passo 2

Usando ln(a^2)=2ln|a|, escrevemos
f(x)=2lnl|,tfracxx-1r|=2l[ln|x|-ln|x-1|r]
O argumento do logaritmo deve ser positivo e não podemos dividir por zero, logo xneq0 e xneq1. Assim o domínio é
,xmid x<0cup,0<x<1cup,x>1

Passo 3

Para x próximo de 0 temos ln((x/(x-1))^2)to-infty, indicando assíntota vertical em x=0.
Para x próximo de 1, como o denominador vai a zero, l|tfracxx-1r|toinfty e f(x)to+infty, logo há assíntota vertical em x=1.

Passo 4

Para xtopminfty,
tfracxx-1=1+tfrac1x-1to1,
então
f(x)=lnl((1+o(1))^2r)toln(1)=0,
mostrando assíntota horizontal y=0.
O zero da função vem de
2lnl|tfracxx-1r|=0 Longrightarrow l|tfracxx-1r|=1 Longrightarrow x=tfrac12

Passo 5

Calculamos a derivada para estudar monotonia:
f'(x) =2l(tfrac1x-tfrac1x-1r) =2cdot(x-1)-xx(x-1) =-2x(x-1)
Em (-infty,0) e em (1,infty) temos x(x-1)>0, logo f'<0 e o ramo decresce.
Em (0,1) temos x(x-1)<0, logo f'>0 e o ramo cresce.

Passo 6

Resumo qualitativo dos três ramos:
  • Para x<0: f decresce de 0 (quando xto-infty) até -infty (quando xto0^-).
  • Para 0<x<1: f cresce de -infty (quando xto0^+) até +infty (quando xto1^-), cruzando o eixo em x=tfrac12.
  • Para x>1: f decresce de +infty (quando xto1^+) até 0 (quando xto+infty).

Resposta

O gráfico de f(x) tem assíntotas verticais em x=0 e x=1 e horizontal em y=0. Há três ramos:
  • Em (-infty,0), a curva decresce de y=0 para -infty.
  • Em (0,1), cresce de -infty para +infty, passando por l(tfrac12,0r).
  • Em (1,infty), decresce de +infty para y=0.

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