Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x0, y0) : y = x^3 + x + 2, em (x0, y0) = (0, 2);

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto específico . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto dado de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a reta tangente a uma curva em um ponto determinado tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação da função em relação a . Usando as regras de derivação:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor da derivada no ponto . Substituindo na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 1.

Passo 5

Com a inclinação e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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