Determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x0, y0) : y = e^(2 x), em (x0, y0) = (0, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Aqui vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, pra achar a inclinação da reta tangente e depois montar a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto. Essa inclinação é dada pela derivada da função no ponto desejado. Então, vamos calcular a derivada de .

Passo 3

A derivada de em relação a é . Isso vem da regra da cadeia, onde a derivada de é , e aqui , então .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 5

Sabendo a inclinação e o ponto pelo qual a reta passa, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo , e :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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