integralA(1+i-2 barz) d z, sendo A o segmento de reta y=x, de 0 a 1+i.
Resposta. 2(i -1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integralA(1+i-2 barz) , dz. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Aqui, estamos lidando com uma integral de linha no campo dos números complexos. O caminho A é um segmento de reta onde y = x, indo de 0 até 1 + i. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho e usar as propriedades das integrais no plano complexo.

Passo 2

Parametrização do Caminho: Como o caminho A é a reta y = x de 0 a 1 + i, podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para descrever todos os pontos ao longo dessa reta. Assim, podemos escrever:
z(t) = t + i t
Aqui, quando t = 0, temos z(0) = 0, e quando t = 1, temos z(1) = 1 + i, cobrindo todo o segmento.

Passo 3

Calculando dz: A derivada de z(t) em relação a t nos dá dz:
dz = dzdt , dt = (1 + i) , dt
Isso significa que, ao integrar, vamos multiplicar pela constante (1 + i).

Passo 4

Substituindo na Integral: Agora, substituímos z(t) e dz na integral original:
integralA(1 + i - 2 barz) , dz = integral0^1 (1 + i - 2 z(t))(1 + i) , dt
Note que z(t) representa o conjugado de z(t), que é t - i t.

Passo 5

Simplificando a Expressão Dentro da Integral: Substituímos z(t):
1 + i - 2(t - i t) = 1 + i - 2t + 2i t = (1 - 2t) + i(1 + 2t)
Agora, a integral fica:
integral0^1 [(1 - 2t) + i(1 + 2t)](1 + i) , dt

Passo 6

Multiplicando os Termos: Vamos multiplicar as expressões:
[(1 - 2t) + i(1 + 2t)](1 + i) = (1 - 2t)(1) + (1 - 2t)i + i(1 + 2t) + i^2(1 + 2t)
Sabemos que i^2 = -1, então:
= (1 - 2t) + i(1 - 2t) + i(1 + 2t) - (1 + 2t)
Simplificando:
= (1 - 2t - 1 - 2t) + i(1 - 2t + 1 + 2t) = (-4t) + i(2)

Passo 7

Integrando Termo a Termo: Agora, integramos cada parte:
integral0^1 (-4t + 2i) , dt = integral0^1 -4t , dt + integral0^1 2i , dt
Calculando as integrais:
= -4 [t^22]0^1 + 2i [t]0^1 = -4 (12) + 2i(1) = -2 + 2i

Resposta

integralA(1+i-2 barz) , dz = 2(i -1)

Exercícios relacionados