, sendo A o segmento de reta , de 0 a .
Resposta. 2(i -1
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Aqui, estamos lidando com uma integral de linha no campo dos números complexos. O caminho é um segmento de reta onde , indo de até . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho e usar as propriedades das integrais no plano complexo.
Passo 2
Parametrização do Caminho: Como o caminho é a reta de a , podemos usar um parâmetro que varia de a para descrever todos os pontos ao longo dessa reta. Assim, podemos escrever:
Aqui, quando , temos , e quando , temos , cobrindo todo o segmento.
Passo 3
Calculando : A derivada de em relação a nos dá :
Isso significa que, ao integrar, vamos multiplicar pela constante .
Passo 4
Substituindo na Integral: Agora, substituímos e na integral original:
Note que z(t) representa o conjugado de z(t), que é t - i t.
Passo 5
Simplificando a Expressão Dentro da Integral: Substituímos z(t):
1 + i - 2(t - i t) = 1 + i - 2t + 2i t = (1 - 2t) + i(1 + 2t)
Agora, a integral fica:
integral0^1 [(1 - 2t) + i(1 + 2t)](1 + i) , dt
Passo 6
Multiplicando os Termos: Vamos multiplicar as expressões: