Determine a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor x indicado.
h(x)=raizxx+1, x=4

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
h(x)=raizxx+1
no ponto em que x=4.
Para isso, precisamos
1. Calcular h'(x) usando a regra do quociente e a derivada da raiz quadrada.
2. Avaliar h'(4) e h(4).
3. Montar a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente: se
h(x)=u(x)v(x),
então
h'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=raizx=x^1/2 e v(x)=x+1. Logo
u'(x)=12raizx, v'(x)=1

Passo 3

Substituindo na fórmula do quociente:
h'(x) =12raizx,(x+1)-raizx,cdot1(x+1)^2 =x+12raizx-raizx(x+1)^2
Colocando numerador em único quociente:
x+12raizx-raizx =x+1-2x2raizx =1-x2raizx
Então
h'(x)=1-x2raizx,(x+1)^2

Passo 4

Avaliamo-os em x=4:
h(4)=raiz44+1=25, h'(4)=1-42raiz4,(4+1)^2 =-32cdot 2 cdot 25 =-3100

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto l(4,h(4)r) na forma ponto-inclinação é
y-h(4)=h'(4),(x-4),
ou seja
y-25 =-3100(x-4)
Podemos escrever em forma explícita:
y=-3100x+1325

Resposta

boxedy=-3100x+1325

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