Determine a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor x indicado.
g(x)=3^x raizx, x=4

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
g(x)=3^xraizx
no ponto onde x=4.
Para isso, precisamos de dois ingredientes:
  1. O valor da função em x=4, ou seja g(4).
  2. A derivada g'(x) avaliada em x=4, que nos dá o coeficiente angular da tangente.

Passo 2

Calcular o valor de g(4).
g(4)=3^4raiz4=81cdot2=162

Passo 3

Encontrar g'(x) usando a regra do produto e a regra da exponencial.
Definindo f(x)=3^x e h(x)=raizx=x^1/2, temos
g'(x)=f'(x),h(x)+f(x),h'(x)
Sabendo que
f'(x)=3^xln(3), h'(x)=12x^-1/2=12raizx,
segue
g'(x) =3^xln(3),raizx +3^x,12raizx =3^xl(ln(3),raizx+12raizxr)

Passo 4

Avaliar g'(x) em x=4.
g'(4) =3^4l(ln(3)cdot2+12cdot2r) =81l(2ln(3)+tfrac14r) =162ln(3)+814

Passo 5

Escrever a reta tangente em forma ponto-inclinação. Sabendo que o ponto é (4,162) e o coeficiente angular é m=g'(4), temos
y-162 =l(162ln(3)+tfrac814r)(x-4)

Resposta

boxed,y-162=l(162ln(3)+tfrac814r),(x-4),

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