Determine a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor x indicado.
g(x)=x^2 sen x, x=pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva g(x) = x^2 sin x no ponto onde x = pi2 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de g(x) quando x = pi2 . Isso vai nos dar o ponto na curva onde a tangente vai tocar.
g(pi2) = (pi2)^2 sin(pi2)
Sabemos que sin(pi2) = 1 , então:
g(pi2) = (pi2)^2 times 1 = pi^24
Portanto, o ponto de tangência é (pi2, pi^24) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de g(x) , que vai nos dar o coeficiente angular da reta tangente. A derivada de uma função nos diz a inclinação da reta tangente nesse ponto.
A função é g(x) = x^2 sin x . Para derivar isso, vamos usar a Regra do Produto, que diz que se temos uma função u(x) multiplicada por v(x) , a derivada é:
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Aqui, u(x) = x^2 e v(x) = sin x .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de u(x) e v(x) :
u'(x) = ddx x^2 = 2x
v'(x) = ddx sin x = cos x
Agora, aplicando a Regra do Produto:
g'(x) = 2x cdot sin x + x^2 cdot cos x

Passo 5

Com a derivada g'(x) em mãos, vamos encontrar o valor dela no ponto x = pi2 :
g'(pi2) = 2 cdot pi2 cdot sin(pi2) + (pi2)^2 cdot cos(pi2)
Sabemos que sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0 , então:
g'(pi2) = 2 cdot pi2 cdot 1 + (pi2)^2 cdot 0 = pi
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é pi .

Passo 6

Agora, temos tudo que precisamos para escrever a equação da reta tangente. A fórmula geral da reta tangente em um ponto (x0, y0) é:
y - y0 = m (x - x0)
Onde m é o coeficiente angular. Substituindo os valores que encontramos:
y - pi^24 = pi (x - pi2)
Podemos deixar a equação mais arrumada:
y = pi x - pi^22 + pi^24
Simplificando:
y = pi x - pi^24

Resposta

A equação da reta tangente é y = pi x - pi^24 .

Exercícios relacionados