Determine a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor
indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Isso vai nos dar o ponto na curva onde a tangente vai tocar.
Sabemos que
, então:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que vai nos dar o coeficiente angular da reta tangente. A derivada de uma função nos diz a inclinação da reta tangente nesse ponto.
A função é
. Para derivar isso, vamos usar a Regra do Produto, que diz que se temos uma função
multiplicada por
, a derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Passo 5
Com a derivada
em mãos, vamos encontrar o valor dela no ponto
:
Sabemos que
e
, então:
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, temos tudo que precisamos para escrever a equação da reta tangente. A fórmula geral da reta tangente em um ponto
é:
Onde
é o coeficiente angular. Substituindo os valores que encontramos:
Podemos deixar a equação mais arrumada:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
.