Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y=(1+2 x)^10, x0=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida por
y = (1 + 2x)^10
no ponto de abscissa x0 = 0.
Conteúdo: derivada de função composta (regra da cadeia) e equação da reta tangente.

Passo 2

Para achar a inclinação da tangente, calculamos a derivada y' usando a regra da cadeia. Se y = u^10 com u = 1 + 2x, então
dydx = 10,u^9,dudx
e como dudx = 2, temos
y' = 10,(1 + 2x)^9 cdot 2 = 20,(1 + 2x)^9

Passo 3

Avaliaremos a derivada em x0=0 para obter o coeficiente angular m:
m = y'(0) = 20,(1 + 2cdot 0)^9 = 20cdot 1^9 = 20

Passo 4

O ponto de tangência tem coordenadas l(x0,y0r) com
y0 = (1 + 2cdot 0)^10 = 1
Logo o ponto é (0,1).

Passo 5

A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y - y0 = m,(x - x0),
isto é
y - 1 = 20,(x - 0)
Isolando y, obtemos a forma reduzida.

Passo 6

Isolando y temos
y = 20x + 1

Resposta

A reta tangente é
y = 20x + 1

Exercícios relacionados