Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y=raiz1+x^3, x0=2

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y=raiz1+x^3 no ponto em que x0=2. Para isso a gente vai precisar calcular a derivada y' (regra da cadeia) para obter a inclinação da reta e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Escrevendo y=(1+x^3)^1/2, aplicamos a regra da cadeia:
y' = 12,(1+x^3)^-1/2cdot 3x^2 = 3x^22raiz1+x^3

Passo 3

Em x0=2 temos y0=raiz1+2^3=raiz9=3. Logo a inclinação é
m = y'(2) = 3cdot 2^22cdot 3 = 126 = 2

Passo 4

A reta tangente em (2,3) com inclinação m=2 satisfaz
y - 3 = 2(x - 2)
Expandindo e isolando y, obtemos
y = 2x - 1

Resposta

y = 2x - 1

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