Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y=11+x^2, x0=-1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = 11 + x^2
no ponto em que x0 = -1. Para isso precisamos de duas coisas:
  1. O coeficiente angular da reta tangente, que é dado pela derivada y'(x) avaliada em x0.
  2. As coordenadas do ponto de tangência, ou seja, l(x0,y(x0)r).

Passo 2

Vamos calcular a derivada de
y = (1 + x^2)^-1
Usando a regra da cadeia e da potência, temos
y'(x) = -1 cdot (1 + x^2)^-2 cdot 2x = -2x(1 + x^2)^2

Passo 3

Agora avaliaremos y'(x) em x0 = -1 para obter o coeficiente angular m:
m = y'(-1) = -2(-1)l(1 + (-1)^2r)^2 = 2(1 + 1)^2 = 24 = 12

Passo 4

Precisamos também das coordenadas do ponto de tangência. Calculamos
y(-1) = 11 + (-1)^2 = 12
Logo o ponto é l(-1,tfrac12r).

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação da reta tangente,
y - y0 = m,(x - x0),
substituímos y0=tfrac12, m=tfrac12 e x0=-1:
y - tfrac12 = tfrac12,(x - (-1)) = tfrac12,(x + 1)
Somando tfrac12 em ambos os lados, obtemos
y = tfrac12,x + tfrac12 + tfrac12 = tfrac12,x + 1

Resposta

A equação da reta tangente é
boxedy = tfrac12,x + 1

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