Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y=3 x^2-x^3, x0=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y=3x^2 - x^3 no ponto em que x0=1. Para achar essa reta, precisamos calcular a derivada da função para obter o coeficiente angular e em seguida usar a fórmula ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Derivamos y em relação a x usando a regra do poder:
y' = ddx(3x^2) - ddx(x^3) = 6x - 3x^2

Passo 3

Avaliamo-s a derivada em x0=1 para obter o coeficiente angular m:
m = y'(1) = 6 cdot 1 - 3 cdot 1^2 = 6 - 3 = 3

Passo 4

Calculamos a ordenada do ponto de tangência:
y(1) = 3cdot1^2 - 1^3 = 3 - 1 = 2,
logo o ponto é (1,2). A equação ponto-inclinação da reta é
y - 2 = 3(x - 1),
e, isolando y,
y = 3x - 1

Resposta

y = 3x - 1

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