Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y=4-x^2, x0=-1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva y=4 - x^2 no ponto em que x0=-1. Para isso, vamos usar cálculo de derivada para obter a inclinação da reta e, em seguida, aplicar a forma ponto-declive para escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Para encontrar a inclinação usamos a derivada de y=4 - x^2. Pela regra do poder,
y' = ddx(4 - x^2) = -2x

Passo 3

A inclinação da reta tangente é o valor de y' em x0=-1:
m = y'(-1) = -2 cdot (-1) = 2

Passo 4

Calculamos a ordenada do ponto de tangência:
y0 = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3
Logo, o ponto de tangência é (-1,3).

Passo 5

Usamos a forma ponto-declive da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo y0=3, m=2 e x0=-1,
y - 3 = 2(x + 1)
Simplificando,
y = 2x + 5

Resposta

A equação da reta tangente é y = 2x + 5.

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