Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
(a) x y^2=1 em(1,-1).
(b) ln (x y)=2 x em (1, e^2).
(d) y^2=x^2x y-4 em (4,2).
© sen(x y)=x em(1, pi2).

Passo 1

Vamos determinar a equação da reta tangente a cada curva usando derivada implícita para encontrar y' = tfracdydx e depois a fórmula da reta tangente y - y0 = m,(x - x0).

Passo 2

Item (a): para xy^2 = 1 em (1,-1).
Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx(x y^2) = ddx(1)
y^2 + xcdot 2y,y' = 0
2xy,y' = -y^2
y' = -y^22xy
Avalia em (1,-1):
y' = -(-1)^22cdot1cdot(-1) = 12
Logo a reta tangente é
y - (-1) = tfrac12,(x - 1)

Passo 3

Item (b): para ln(xy) = 2x em (1,e^2).
Derivando:
ddx[ln(xy)] = ddx(2x)
Usando ddx[ln(xy)] = 1xy(y + x,y'):
y + x,y'xy = 2
y + x,y' = 2xy
x,y' = 2xy - y = y(2x - 1)
y' = y(2x - 1)x
Em (1,e^2):
y' = e^2(2cdot1 - 1)1 = e^2
A reta tangente é
y - e^2 = e^2,(x - 1)

Passo 4

Item ©: para sin(xy) = x em l(1,tfracpi2r).
Derivando:
ddx[sin(xy)] = ddx(x)
cos(xy),(y + x,y') = 1
No ponto dado xy = tfracpi2 temos cos(tfracpi2) = 0, então o lado esquerdo fica 0 e não igual a 1 para uma y' finita. Isso indica que a tangente é vertical, portanto
x = 1

Passo 5

Item (d): para y^2 = x^2xy - 4 em (4,2).
Derivando o lado direito como quociente u/v com u = x^2 e v = xy - 4:
2y,y' = (xy - 4)cdot2x - x^2(y + x,y')(xy - 4)^2
Multiplicando por (xy - 4)^2 e agrupando termos em y':
2y,(xy - 4)^2,y' + x^3,y' = 2x(xy - 4) - x^2y
y'l[2y(xy - 4)^2 + x^3r] = 2x(xy - 4) - x^2y
y' = 2x(xy - 4) - x^2y2y(xy - 4)^2 + x^3
Em (4,2): xy - 4 = 4cdot2 - 4 = 4. Então o numerador é
2cdot4cdot4 - 16cdot2 = 32 - 32 = 0,
logo y' = 0. A tangente é horizontal:
y = 2

Resposta

(a) y + 1 = \tfrac12 (x - 1)
(b) y - e^2 = e^2 (x - 1)
© x = 1
(d) y = 2

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