Para quais valores de
existe reta tangente horizontal ao gráfico de
? Caso não exista reta tangente horizontal, justifique. Lembre-se que as funções trigonométricas são periódicas!
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores de
onde a reta tangente ao gráfico da função
é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a determinar a inclinação das tangentes a um gráfico.
Passo 2
Para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos saber onde a derivada da função
é igual a zero. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, queremos saber para quais valores de
a derivada
é igual a zero, já que isso indicará onde a reta tangente é horizontal:
Passo 5
Vamos resolver a equação
:
Sabemos que
é sempre maior ou igual a 1, porque
e o quadrado de qualquer número real não negativo é sempre não negativo. Portanto,
nunca pode ser igual a -1.
Passo 6
Como não existe nenhum valor de
que satisfaça
, concluímos que não há pontos onde a reta tangente ao gráfico de
é horizontal.
Resposta
Não existe nenhum valor de
para o qual a reta tangente ao gráfico de
seja horizontal.