Para quais valores de x existe reta tangente horizontal ao gráfico de f ? Caso não exista reta tangente horizontal, justifique. Lembre-se que as funções trigonométricas são periódicas! f(x) = x + tan(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os valores de onde a reta tangente ao gráfico da função é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a determinar a inclinação das tangentes a um gráfico.

Passo 2

Para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos saber onde a derivada da função é igual a zero. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, queremos saber para quais valores de a derivada é igual a zero, já que isso indicará onde a reta tangente é horizontal:

Passo 5

Vamos resolver a equação :
Sabemos que é sempre maior ou igual a 1, porque e o quadrado de qualquer número real não negativo é sempre não negativo. Portanto, nunca pode ser igual a -1.

Passo 6

Como não existe nenhum valor de que satisfaça , concluímos que não há pontos onde a reta tangente ao gráfico de é horizontal.

Resposta

Não existe nenhum valor de para o qual a reta tangente ao gráfico de seja horizontal.

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