Determine a equação da reta tangente à curva y^2-4 x y=12 no ponto (1,6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por $ y^{2} - 4xy = 12 $ no ponto y^2 - 4xy = 12 . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e diferenciação implícita. Vamos precisar achar a derivada da função para determinar a inclinação da tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $. A equação que temos é $ y^{2} - 4xy = 12 $. Como $ y $ está misturado com $ x $, não é fácil isolar $ y $. Por isso, usamos a diferenciação implícita, onde derivamos ambos os lados da equação em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2y \frac{dy}{dx} $ (usando a regra da cadeia).
  2. A derivada de $ -4xy $ é $ -4y - 4x \frac{dy}{dx} $ (usando a regra do produto).
  3. A derivada de $ 12 $ é $ 0 $, já que é uma constante.
Então, temos:
y^2

Passo 4

Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $ dos dois termos à esquerda:
2y dydx - 4x dydx = 4y
Finalmente, dividindo ambos os lados por $ (2y - 4x) $:
dydx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:

Passo 6

Agora, substituímos as coordenadas do ponto (1, 6) na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
dydx g|(1,6) = 2 times 66 - 2 times 1 = 124 = 3
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é $ 3 $.

Passo 7

Com a inclinação $ m = 3 $ e o ponto m = 3 , usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
(1, 6)
Substituindo os valores:
y - y1 = m(x - x1)

Passo 8

Vamos deixar a equação mais arrumadinha:
y - 6 = 3x - 3
y = 3x + 3

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 6) é $ y = 3x + 3 $.

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