Determine a equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por $ y^{2} - 4xy = 12 $ no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e diferenciação implícita. Vamos precisar achar a derivada da função para determinar a inclinação da tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $. A equação que temos é $ y^{2} - 4xy = 12 $. Como $ y $ está misturado com $ x $, não é fácil isolar $ y $. Por isso, usamos a diferenciação implícita, onde derivamos ambos os lados da equação em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2y \frac{dy}{dx} $ (usando a regra da cadeia).
A derivada de $ -4xy $ é $ -4y - 4x \frac{dy}{dx} $ (usando a regra do produto).
A derivada de $ 12 $ é $ 0 $, já que é uma constante.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $ dos dois termos à esquerda:
Finalmente, dividindo ambos os lados por $ (2y - 4x) $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Passo 6
Agora, substituímos as coordenadas do ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é $ 3 $.
Passo 7
Com a inclinação $ m = 3 $ e o ponto m = 3 , usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
(1, 6)
Substituindo os valores:
y - y1 = m(x - x1)
Passo 8
Vamos deixar a equação mais arrumadinha:
y - 6 = 3x - 3
y = 3x + 3
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (1, 6) é $ y = 3x + 3 $.