Use os testes para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita escrita assim:
sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2n
O que precisamos fazer é usar alguns testes de convergência de séries para descobrir se essa série converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (não chega a um valor específico). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e aplicar testes como o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de série que estamos lidando. A série dada é:
sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2n
Note que temos o termo (-1)^n-1, que alterna os sinais dos termos da série (positivo, negativo, positivo, etc.). Isso caracteriza uma série alternada.

Passo 3

Para séries alternadas, um dos testes mais úteis é o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar se a série converge. Esse teste diz que uma série alternada da forma:
sumn=1^infty(-1)^n-1 an
converge se duas condições forem satisfeitas:
1. Os termos an são decrescentes: an+1 <= an para todo n.
2. O limite dos termos tende a zero: limn to infty an = 0.

Passo 4

Vamos aplicar essas condições à nossa série. Primeiro, identifiquemos an:
an = e^2n
Agora, vamos verificar as duas condições do teste.

Passo 5

Condição 1: Os termos an são decrescentes?
Vamos analisar se an+1 <= an:
an+1 = e^2n+1
an = e^2n
Como n+1 > n, então 2n+1 < 2n. Como a função exponencial é crescente, temos:
e^2n+1 < e^2n
Portanto, an+1 < an e os termos são decrescentes. A primeira condição está satisfeita.

Passo 6

Condição 2: O limite dos termos tende a zero?
Vamos calcular:
limn to infty an = limn to infty e^2n
Sabemos que 2n to 0 quando n to infty, então:
limn to infty e^2n = e^0 = 1
Então, o limite dos termos é 1, que não é zero.

Passo 7

Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (porque limn to infty an neq 0), podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 e^2n diverge.

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