Use os testes para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita escrita assim:
O que precisamos fazer é usar alguns testes de convergência de séries para descobrir se essa série converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (não chega a um valor específico). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e aplicar testes como o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de série que estamos lidando. A série dada é:
Note que temos o termo
Passo 3
Para séries alternadas, um dos testes mais úteis é o Teste da Série Alternada, que nos ajuda a determinar se a série converge. Esse teste diz que uma série alternada da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
1. Os termos
2. O limite dos termos tende a zero:
Passo 4
Vamos aplicar essas condições à nossa série. Primeiro, identifiquemos
:
Agora, vamos verificar as duas condições do teste.
Passo 5
Condição 1: Os termos
são decrescentes?
Vamos analisar se
:
Como
, então
. Como a função exponencial é crescente, temos:
Portanto,
e os termos são decrescentes. A primeira condição está satisfeita.
Passo 6
Condição 2: O limite dos termos tende a zero?
Vamos calcular:
Sabemos que
quando
, então:
Então, o limite dos termos é 1, que não é zero.
Passo 7
Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (porque
), podemos concluir que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.