Se f(2)=4 e f^{\prime}(2)=1 determinar \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(x)}{x-2}

Passo 1

O enunciado dá f(2)=4 e f'(2)=1 e pede
\lim_{x\to2}\frac{x\,f(2)-2\,f(x)}{x-2}.
O que vamos usar é reescrever o numerador de modo a isolarmos uma forma de diferença quociente que lembra derivada.

Passo 2

Substituindo f(2)=4 no numerador, temos
x\,f(2)-2\,f(x)=4x-2\,f(x).
Fatorando 2, a expressão fica
\frac{4x-2f(x)}{x-2} =2\;\frac{2x-f(x)}{x-2}.

Passo 3

Defina a função auxiliar
g(x)=2x-f(x).
Note que
g(2)=2\cdot2 - f(2)=4-4=0,
e que
\frac{g(x)-g(2)}{x-2} =\frac{2x-f(x)-0}{x-2}
é justamente o quociente que aparece. Como g é diferenciável em x=2, esse quociente tende a
g'(2)=2 - f'(2).

Passo 4

Como f'(2)=1, obtemos
g'(2)=2-1=1.
Logo a expressão original vale
2\cdot g'(2)=2\cdot1=2.

Resposta

2

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