Nos problemas 9-20, encontre uma soluçåo geral.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontre a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes dada por
y'' + 2y' + 5y = 0.
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes está totalmente especificada. O objetivo é obter a família de soluções gerais, contendo duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Método padrão (assumir solução exponencial): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma
y = e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou substituir y=e^{r x} na equação e ver qual condição r deve satisfazer.
Substituindo:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Colocando na equação:
r^{2} e^{r x} + 2 r e^{r x} + 5 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica (polinomial) para r:
r^{2} + 2r + 5 = 0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática para r usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
\Delta = 2^{2} - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i.
Portanto as raízes são r_{1} = -1 + 2i e r_{2} = -1 - 2i.

Passo 4

Conseguir a solução real geral a partir das raízes complexas: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha \pm \beta i (aqui \alpha=-1 e \beta=2), as soluções complexas correspondentes são e^{(\alpha+\beta i)x} e e^{(\alpha-\beta i)x}. Usando a identidade de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta,
temos
e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)).
As partes real e imaginária dessa expressão são soluções reais independentes. Logo a solução geral real pode ser escrita como combinação linear
y(x)=C_{1} e^{\alpha x}\cos(\beta x) + C_{2} e^{\alpha x}\sin(\beta x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais. Substituindo \alpha=-1 e \beta=2 obtemos
y(x)=e^{-x}\bigl(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\bigr).

Passo 5

Verificação (mostro que uma das funções básicas satisfaz a equação, a outra é análoga): defina
y_{1}(x)=e^{-x}\cos(2x).
Calcule as derivadas usando a regra do produto:
y_{1}'(x)=e^{-x}\bigl(-\cos(2x)-2\sin(2x)\bigr),
y_{1}''(x)=e^{-x}\bigl(-3\cos(2x)+4\sin(2x)\bigr).
Agora o lado esquerdo da equação para y_{1} é
y_{1}''+2y_{1}'+5y_{1}=e^{-x}\bigl(-3\cos(2x)+4\sin(2x)\bigr) +2e^{-x}\bigl(-\cos(2x)-2\sin(2x)\bigr)+5e^{-x}\cos(2x).
Agrupando os termos dentro do colchete:
(-3-2+5)\cos(2x)+(4-4)\sin(2x)=0\cdot\cos(2x)+0\cdot\sin(2x)=0.
Portanto y_{1} satisfaz a equação. Pelo mesmo raciocínio (ou calculando) y_{2}(x)=e^{-x}\sin(2x) também satisfaz, e y_{1},y_{2} são linearmente independentes; assim a combinação linear acima é a solução geral.

Resposta

y(x)=e^{-x}\bigl(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\bigr)

Exercícios relacionados