Nos problemas 9-20, encontre uma soluçåo geral.
Passo 1
O enunciado pede: encontre a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes dada por
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes está totalmente especificada. O objetivo é obter a família de soluções gerais, contendo duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Método padrão (assumir solução exponencial): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou substituir
na equação e ver qual condição
deve satisfazer.
Substituindo:
Colocando na equação:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica (polinomial) para
:
Passo 3
Resolver a equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 4
Conseguir a solução real geral a partir das raízes complexas: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
(aqui
e
), as soluções complexas correspondentes são
e
. Usando a identidade de Euler
temos
As partes real e imaginária dessa expressão são soluções reais independentes. Logo a solução geral real pode ser escrita como combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias reais. Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Verificação (mostro que uma das funções básicas satisfaz a equação, a outra é análoga): defina
Calcule as derivadas usando a regra do produto:
Agora o lado esquerdo da equação para
é
Agrupando os termos dentro do colchete:
Portanto
satisfaz a equação. Pelo mesmo raciocínio (ou calculando)
também satisfaz, e
são linearmente independentes; assim a combinação linear acima é a solução geral.