Determine se é Verdadeiro (V) (provando a afirmativa) ou Falso (F) (dando contraexemplo):
( ) Se
é diferenciável em
, então
é contínua em
.
( ) Se
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmativa abaixo é Verdadeira (V) ou Falsa (F).
Afirmativa: "Se é diferenciável em
, então
é contínua em
".
Afirmativa: "Se
Informações dadas:
- Há uma função
e um ponto . - A hipótese é que
é diferenciável em (isto é, o derivada existe e é um número real). - A pergunta é se, a partir disso, sempre segue que
é contínua em .
Passo 2
Definições importantes (vou explicar com calma o que cada coisa significa).
- Diferenciável em
: significa que o limite que define a derivada existe finito. Usar a forma com incremento é prático:
isto é, a razão incremental
tende a um número finito quando
. Aqui
representa um pequeno deslocamento na variável;
é o valor da função próximo a
.
- Contínua em
: significa que o valor da função se aproxima do valor em quando a variável se aproxima de :
Em termos de incrementos
, isso é equivalente a
.
Passo 3
Prova da implicação (passo a passo, usando as definições).
- Suponha que
é diferenciável em . Então o limite abaixo existe e é um número finito:
- Reescreva a diferença
como produto:
Isto é uma identidade para todo
.
- Agora tome o limite quando
dos dois lados. O lado direito é um produto de dois fatores cujo limite conhecemos ou é óbvio: - O primeiro fator
tende a quando . - O segundo fator
tende a por hipótese de diferenciabilidade. - Produto de limites (quando cada limite existe e é finito) dá o limite do produto, então
- O primeiro fator
- Logo
o que implica
Isto é exatamente a continuidade de
em
.
Passo 4
Observações didáticas e justificativas de passo a passo:
- Foi crucial usar a versão da derivada com
porque isso nos dá diretamente uma expressão envolvendo . - A justificativa do passo do produto de limites é válida porque sabemos que
e existe e é finito. Se o segundo limite fosse infinito ou não existisse, não poderíamos usar essa conclusão — mas aí a função não seria diferenciável, portanto a hipótese impede esse problema. - Também é importante que
esteja definida em e em pontos próximos de para que as expressões façam sentido; essa é uma exigência implícita quando se diz que é diferenciável em .
Passo 5
Comentário extra (muito útil para a prova): a implicação é verdadeira. Já a recíproca é falsa: continuidade não garante diferenciabilidade. Um contraexemplo clássico é
no ponto
. Essa função é contínua em
(pois
e
), mas não é diferenciável em
porque os limites laterais da razão incremental são diferentes:
logo o limite quando
não existe, e
não existe.
Resposta
V