Determine se é Verdadeiro (V) (provando a afirmativa) ou Falso (F) (dando contraexemplo):
( ) Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmativa abaixo é Verdadeira (V) ou Falsa (F).
Afirmativa: "Se f é diferenciável em a, então f é contínua em a".
Informações dadas:
  • Há uma função f e um ponto a.
  • A hipótese é que f é diferenciável em a (isto é, o derivada f'(a) existe e é um número real).
  • A pergunta é se, a partir disso, sempre segue que f é contínua em a.

Passo 2

Definições importantes (vou explicar com calma o que cada coisa significa).
  • Diferenciável em a: significa que o limite que define a derivada existe finito. Usar a forma com incremento h é prático:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
isto é, a razão incremental \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} tende a um número finito quando h\to0. Aqui h representa um pequeno deslocamento na variável; f(a+h) é o valor da função próximo a a.
  • Contínua em a: significa que o valor da função se aproxima do valor em a quando a variável se aproxima de a:
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Em termos de incrementos h, isso é equivalente a \lim_{h\to0} f(a+h)=f(a).

Passo 3

Prova da implicação (passo a passo, usando as definições).
  • Suponha que f é diferenciável em a. Então o limite abaixo existe e é um número finito:
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a).
  • Reescreva a diferença f(a+h)-f(a) como produto:
f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Isto é uma identidade para todo h\neq0.
  • Agora tome o limite quando h\to0 dos dois lados. O lado direito é um produto de dois fatores cujo limite conhecemos ou é óbvio:
    • O primeiro fator h tende a 0 quando h\to0.
    • O segundo fator \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} tende a f'(a) por hipótese de diferenciabilidade.
    • Produto de limites (quando cada limite existe e é finito) dá o limite do produto, então
\lim_{h\to0}\bigl(h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\bigr)=\bigl(\lim_{h\to0}h\bigr)\cdot\bigl(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\bigr)=0\cdot f'(a)=0.
  • Logo
\lim_{h\to0}\bigl(f(a+h)-f(a)\bigr)=0,
o que implica
\lim_{h\to0} f(a+h)=f(a).
Isto é exatamente a continuidade de f em a.

Passo 4

Observações didáticas e justificativas de passo a passo:
  • Foi crucial usar a versão da derivada com h\to0 porque isso nos dá diretamente uma expressão envolvendo f(a+h)-f(a).
  • A justificativa do passo do produto de limites é válida porque sabemos que \lim_{h\to0}h=0 e \lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) existe e é finito. Se o segundo limite fosse infinito ou não existisse, não poderíamos usar essa conclusão — mas aí a função não seria diferenciável, portanto a hipótese impede esse problema.
  • Também é importante que f esteja definida em a e em pontos próximos de a para que as expressões façam sentido; essa é uma exigência implícita quando se diz que f é diferenciável em a.

Passo 5

Comentário extra (muito útil para a prova): a implicação é verdadeira. Já a recíproca é falsa: continuidade não garante diferenciabilidade. Um contraexemplo clássico é f(x)=|x| no ponto a=0. Essa função é contínua em 0 (pois f(0)=0 e \lim_{x\to0}|x|=0), mas não é diferenciável em 0 porque os limites laterais da razão incremental são diferentes:
\lim_{h\to0^+}\frac{|0+h|-|0|}{h}=1,\qquad \lim_{h\to0^-}\frac{|0+h|-|0|}{h}=-1,
logo o limite quando h\to0 não existe, e f'(0) não existe.

Resposta

V

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