Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime+6 y^prime+5 y=12 e^t;
y(0)=-1, y^prime(0)=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 6y' + 5y = 12e^t, y(0) = -1,;y'(0)=7
usando o método de transformada de Laplace. Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, usar as condições iniciais para obter Y(s), depois fazer frações parciais e inverter a transformada.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace e lembrando que
Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly' = s,Y(s) - y(0),
temos
Ly''+6y'+5y = l(s^2Y - s(-1) - 7r) +6l(sY -(-1)r) +5Y
Isto é
(s^2 +6s +5),Y(s) ;+;(s -1) ;=; L12e^t ;=; 12s-1

Passo 3

Isolando Y(s), obtemos
Y(s) = 12s-1 ;-;(s-1)(s^2+6s+5) = 12(s-1)(s^2+6s+5) ;-;s-1(s^2+6s+5)
Como s^2+6s+5=(s+1)(s+5), escrevemos
Y(s) = 12(s-1)(s+1)(s+5) ;-; s-1(s+1)(s+5)

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada termo.
  1. Para 12(s-1)(s+1)(s+5) = As-1 + Bs+1 + Cs+5, encontramos
    A=1, B=-tfrac32, C=tfrac12.
  2. Para s-1(s+1)(s+5) = Ds+1 + Es+5, obtemos
    D=-tfrac12, E=tfrac32.
Assim
Y(s) = l(tfrac1s-1-tfrac321s+1+tfrac121s+5r) ;-; l(-tfrac121s+1+tfrac321s+5r)

Passo 5

Agrupando termos semelhantes em 1/(s+1) e 1/(s+5), temos
Y(s) = 1s-1 ;-; l(tfrac32 -tfrac12r)1s+1 ;-; l(tfrac32 -tfrac12r)1s+5 = 1s-1 - 1s+1 - 1s+5

Passo 6

Invertendo a transformada de Laplace termo a termo, lembrando
L^-1tfrac1s-a=e^at, obtemos
y(t) = e^t - e^-t - e^-5t

Resposta

y(t)=e^t-e^-t-e^-5t

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