Nos problemas 1-4, use o teorema da convolução para obter uma fórmula para a solução do problema de valor inicial dado, em que g(t) é contínuo por partes em [0, infty) e de ordem exponencial.
y^prime prime+y=g(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema é resolver o valor inicial
y''+y=g(t), y(0)=0,;y'(0)=1,
onde g(t) é contínua por partes e de ordem exponencial. Vamos usar transformada de Laplace e o teorema da convolução para obter uma fórmula explícita para y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Ly(s)=Y(s) e Lg(s)=G(s), temos
Ly''(s)+Ly(s) =l(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)r)+Y(s) =G(s)
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1, obtemos
s^2Y(s)-1+Y(s)=G(s) Longrightarrow Y(s)l(s^2+1r)=G(s)+1

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)=1s^2+1+G(s)s^2+1
Este é o somatório de duas frações simples em s.

Passo 4

Invertendo cada termo pela transformada inversa e usando o teorema da convolução:
  • L^-1ltfrac1s^2+1r(t)=sin t
  • L^-1ltfracG(s)s^2+1r(t) =(g*sin)(t) =integral0^tsinl(t-taur),g(tau),dtau

Resposta

y(t)=sin t+integral0^tsinl(t-taur),g(tau),dtau

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