Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(g)
,
(g)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto de abscissa
. O que se pede é: determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é
.
Informações relevantes fornecidas:
- Função:
. - Abscissa do ponto onde a tangente deve ser encontrada:
. - Objetivo: achar a equação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa
.
Passo 2
O que é uma reta tangente ao gráfico de uma função num ponto? Intuitivamente, é a reta que “encosta” no gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação (mesma inclinação instantânea) que o gráfico ali. Matematicamente, a inclinação da tangente no ponto
é a derivada da função naquele ponto, denotada por
(ou
). A forma ponto-pendente (point-slope) da reta tangente é:
onde:
-
é a inclinação da reta (a derivada no ponto: ), -
é o ponto de tangência (com ).
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
no ponto
. Pela definição de derivada:
Aqui
. Substituindo:
Simplificando o numerador:
Portanto
Logo a derivada (inclinação da tangente) em qualquer ponto é
, em particular
.
Passo 4
Observação prática e atenciosa: funções lineares da forma
têm derivada constante
para todo
. No nosso caso
, então já era esperado que a inclinação fosse
. A demonstração via limite acima só confirma isso.
Passo 5
Agora precisamos das coordenadas do ponto de tangência. Calculamos
com
:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 6
Substituímos na fórmula ponto-pendente da reta tangente com
e
:
Esta é a forma ponto-pendente da reta tangente no ponto dado. (Na prova, a partir daqui pode-se simplificar a expressão para obter a forma explícita da reta.)