Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(g) y=x-2, x=-2

Passo 1

O enunciado dá a função y=x-2 e o ponto de abscissa x=-2. O que se pede é: determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é x=-2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Função: y=x-2.
  • Abscissa do ponto onde a tangente deve ser encontrada: x_0=-2.
  • Objetivo: achar a equação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa x_0.

Passo 2

O que é uma reta tangente ao gráfico de uma função num ponto? Intuitivamente, é a reta que “encosta” no gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação (mesma inclinação instantânea) que o gráfico ali. Matematicamente, a inclinação da tangente no ponto x_0 é a derivada da função naquele ponto, denotada por f'(x_0) (ou y'(x_0)). A forma ponto-pendente (point-slope) da reta tangente é:
y - y_0 = m\,(x - x_0),
onde:
  • m é a inclinação da reta (a derivada no ponto: m=f'(x_0)),
  • (x_0,y_0) é o ponto de tangência (com y_0=f(x_0)).

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função y=x-2 no ponto x_0=-2. Pela definição de derivada:
f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Aqui f(x)=x-2. Substituindo:
f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{(x_0+h-2)-(x_0-2)}{h}.
Simplificando o numerador:
(x_0+h-2)-(x_0-2)=h.
Portanto
f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}= \lim_{h\to0}1 = 1.
Logo a derivada (inclinação da tangente) em qualquer ponto é 1, em particular f'(-2)=1.

Passo 4

Observação prática e atenciosa: funções lineares da forma f(x)=ax+b têm derivada constante f'(x)=a para todo x. No nosso caso a=1, então já era esperado que a inclinação fosse 1. A demonstração via limite acima só confirma isso.

Passo 5

Agora precisamos das coordenadas do ponto de tangência. Calculamos y_0=f(x_0) com x_0=-2:
y_0 = f(-2) = (-2)-2 = -4.
Portanto o ponto de tangência é (x_0,y_0)=(-2,-4).

Passo 6

Substituímos na fórmula ponto-pendente da reta tangente com m=1 e (x_0,y_0)=(-2,-4):
y - (-4) = 1\cdot\bigl(x - (-2)\bigr).
Esta é a forma ponto-pendente da reta tangente no ponto dado. (Na prova, a partir daqui pode-se simplificar a expressão para obter a forma explícita da reta.)

Resposta

y=x-2

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