Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
,
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa dada.”
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - A abscissa do ponto é
.
Portanto precisamos encontrar a reta tangente ao gráfico de
no ponto cujo valor de
é
. Para isso precisamos:
- calcular o ponto do gráfico: o par
em ; - calcular a derivada
da função e avaliá‑la em para obter o coeficiente angular (declive) da reta tangente; - escrever a equação da reta que passa por
com inclinação .
Passo 2
Calcular o valor da função em
(ou seja, a ordenada do ponto de tangência).
A função é . Substituindo
:
A função é
Logo o ponto do gráfico onde queremos a tangente é
.
Passo 3
Explicar o que precisamos da derivada: a derivada
dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em cada abscissa
. Portanto, para saber a inclinação da tangente em
precisamos calcular
e então avaliar
.
Passo 4
Derivar os termos separadamente usando regras básicas:
- Regra do expoente (power rule): se
com real, então
- Para
escrevemos . Aplicando a regra do expoente:
- Para
escrevemos . Aplicando a regra do expoente:
Passo 5
Somando as derivadas dos termos (linearidade da derivada), obtemos a derivada da função inteira:
Passo 6
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação da reta tangente:
Portanto o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em
é
.
Passo 7
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto‑inclinação: a reta que passa por
com inclinação
é dada por
Aqui
,
e
. Substituindo:
Passo 8
Se quiser uma forma explicita
, desenvolvemos a expressão: