Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}, x=1

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa dada.”
Informações fornecidas:
  • A função é y=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}.
  • A abscissa do ponto é x=1.
Portanto precisamos encontrar a reta tangente ao gráfico de y no ponto cujo valor de x é 1. Para isso precisamos:
  • calcular o ponto do gráfico: o par (x,y) em x=1;
  • calcular a derivada y' da função e avaliá‑la em x=1 para obter o coeficiente angular (declive) da reta tangente;
  • escrever a equação da reta que passa por (1,y(1)) com inclinação y'(1).

Passo 2

Calcular o valor da função em x=1 (ou seja, a ordenada do ponto de tangência).
A função é y=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}. Substituindo x=1:
y(1)=\sqrt{1}+\dfrac{1}{1}=1+1=2.
Logo o ponto do gráfico onde queremos a tangente é (1,2).

Passo 3

Explicar o que precisamos da derivada: a derivada y'(x) dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de y em cada abscissa x. Portanto, para saber a inclinação da tangente em x=1 precisamos calcular y'(x) e então avaliar y'(1).

Passo 4

Derivar os termos separadamente usando regras básicas:
  • Regra do expoente (power rule): se f(x)=x^{n} com n real, então
f'(x)=n x^{n-1}.
  • Para \sqrt{x} escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2}. Aplicando a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Para \dfrac{1}{x} escrevemos \dfrac{1}{x}=x^{-1}. Aplicando a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (linearidade da derivada), obtemos a derivada da função inteira:
y'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Avaliar a derivada em x=1 para obter a inclinação da reta tangente:
y'(1)=\tfrac{1}{2\sqrt{1}}-\dfrac{1}{1^{2}}=\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.
Portanto o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente em x=1 é m=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto‑inclinação: a reta que passa por (x_0,y_0) com inclinação m é dada por
y-y_0=m(x-x_0).
Aqui x_0=1, y_0=2 e m=-\tfrac{1}{2}. Substituindo:
y-2=-\tfrac{1}{2}(x-1).

Passo 8

Se quiser uma forma explicita y=mx+b, desenvolvemos a expressão:
y-2=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}+2,
y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{2}.

Resposta

y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1)
y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}

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