Determine a equação da reta tangente à F(t) no ponto indicado.
F(t)=(t, t^2, t^3) em F(1);

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva parametrizada em R^3 dada por
F(t) = l(t,;t^2,;t^3r)
no ponto correspondente a t=1.
Conteúdo: curvas paramétricas em espaço e reta tangente. Vamos precisar da derivada vetorial de F e do ponto F(1).

Passo 2

Calculamos o ponto de tangência substituindo t=1 em F(t):
F(1) = l(1,;1^2,;1^3r) = (1,1,1)

Passo 3

Obtemos a velocidade (derivada vetorial) de F:
F'(t) = l(1,;2t,;3t^2r)
Em t=1 isso vale
F'(1) = (1,2,3),
que será o vetor direção da reta tangente.

Passo 4

A reta tangente passa por P=(1,1,1) e tem direção v=(1,2,3).
Equação vetorial (parâmetro s):
r(s) = (1,1,1) + s,(1,2,3)
Em forma paramétrica:
x = 1 + s, y = 1 + 2s, z = 1 + 3s,
e em forma simétrica:
x-11 = y-12 = z-13

Resposta

A reta tangente em F(1) pode ser escrita como
r(s) = (1,1,1) + s,(1,2,3),
ou equivalentemente
x-11 = y-12 = z-13

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