Determine a equação da reta tangente à F(t) no ponto indicado.
G(t)=(2 cos t, 2 sin t, 3 t^2) em G(pi).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
G(t) = l(2cos t,;2sin t,;3t^2r)
e pede a reta tangente em t=pi. O que precisamos é (i) calcular o ponto G(pi), (ii) obter o vetor tangente G'(pi) pela derivada componente a componente, e (iii) montar a equação vetorial da reta usando esse ponto e esse vetor.

Passo 2

Para achar o ponto de tangência, calculamos
G(pi)=l(2cos(pi),;2sin(pi),;3pi^2r) =l(-2,;0,;3pi^2r)

Passo 3

Derivando cada componente de G(t), obtemos
G'(t)=l(-2sin t,;2cos t,;6tr)

Passo 4

Avaliando em t=pi:
G'(pi)=l(-2sin(pi),;2cos(pi),;6pir) =l(0,;-2,;6pir)

Passo 5

A reta tangente que passa por P=(-2,0,3pi^2) com vetor diretor vec v=(0,-2,6pi) tem equação vetorial
r(u)=(-2,,0,,3pi^2)+u,(0,,-2,,6pi)
Em forma paramétrica:
x(u)=-2, y(u)=-2,u, z(u)=3pi^2+6pi,u

Resposta

r(u)=(-2,,0,,3pi^2)+u,(0,,-2,,6pi)

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