A equação
é chamada equação de Laplace. As soluções dessa equação (funções que satisfazem tal equação) são ditas funções harmônicas. Verifique se as funções abaixo são funções harmônicas
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é harmônica, ou seja, se ela satisfaz a equação de Laplace
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
em relação a
e
(valendo-se do domínio
, pois em
a função não está definida).
Passo 2
Antes de derivar, notamos que
Logo, aplicando a regra da cadeia, as derivadas de primeira ordem são
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas. Para
usamos o quociente:
De modo análogo,
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas obtemos
Como a soma é zero para todo
com
, a equação de Laplace é satisfeita nesse domínio.
Resposta
A função
é harmônica em
, pois
.