A equação partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 é chamada equação de Laplace. As soluções dessa equação (funções que satisfazem tal equação) são ditas funções harmônicas. Verifique se as funções abaixo são funções harmônicas
f(x, y)=ln raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=lnraizx^2+y^2
é harmônica, ou seja, se ela satisfaz a equação de Laplace
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f em relação a x e y (valendo-se do domínio x^2+y^2>0, pois em (0,0) a função não está definida).

Passo 2

Antes de derivar, notamos que
f(x,y)=lnraizx^2+y^2=12lnl(x^2+y^2r)
Logo, aplicando a regra da cadeia, as derivadas de primeira ordem são
partial fpartial x =12cdot2xx^2+y^2 =xx^2+y^2, partial fpartial y =12cdot2yx^2+y^2 =yx^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas. Para partial^2 f/partial x^2 usamos o quociente:
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xl(xx^2+y^2r) =(x^2+y^2)cdot1 - xcdot2x(x^2+y^2)^2 =y^2 - x^2(x^2+y^2)^2
De modo análogo,
partial^2 fpartial y^2 =partialpartial yl(yx^2+y^2r) =(x^2+y^2)cdot1 - ycdot2y(x^2+y^2)^2 =x^2 - y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas obtemos
partial^2 fpartial x^2 +partial^2 fpartial y^2 =y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 +x^2 - y^2(x^2+y^2)^2 =0
Como a soma é zero para todo (x,y) com x^2+y^2>0, a equação de Laplace é satisfeita nesse domínio.

Resposta

A função f(x,y)=lnraizx^2+y^2 é harmônica em (x,y)mid x^2+y^2>0, pois
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0.

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