Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto correspondente ao valor x indicado.
f(x)=x^2 ln x, x=1

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=x^2ln x e pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto onde x=1. O que precisamos é (1) o ponto de tangência, obtido por f(1), e (2) a derivada f'(x), pois ela dá o coeficiente angular da tangente em qualquer x.

Passo 2

Calcular o ponto de tangência (x0,y0). Como x0=1, temos
y0=f(1)=1^2ln 1=0
Logo o ponto é (1,0).

Passo 3

Determinar a derivada f'(x) usando a regra do produto em f(x)=x^2cdotln x. Seja u=x^2 e v=ln x, então
u'=2x, v'=1x,
e
f'(x)=u',v + u,v' = 2xln x + x^2cdot1x = 2xln x + x = xl(2ln x +1r)

Passo 4

Avaliar o coeficiente angular da tangente em x=1:
mtan=f'(1)=1l(2ln1+1r)=1cdot1=1

Passo 5

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive y-y0=m(x-x0). Substituindo (x0,y0)=(1,0) e m=1, obtemos
y - 0 = 1,(x - 1) Longrightarrow y = x - 1

Passo 6

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso da declividade da tangente, isto é,
mnorm=-1mtan=-1
Aplicando novamente a forma ponto-declive em (1,0), vem
y - 0 = -1,(x - 1) Longrightarrow y = -x + 1

Resposta

Equação da reta tangente:
y = x - 1
Equação da reta normal:
y = -x + 1

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