Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto correspondente ao valor
indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva definida por
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação das retas e, depois, montar as equações das retas tangente e normal. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Isso vai nos dar o ponto de contato onde as retas tangente e normal vão passar. Substituindo:
Então, o ponto de contato é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos derivar
.
Primeiro, reescrevemos
como
para facilitar a diferenciação:
Vamos usar a regra do produto para derivar
:
Calculando cada parte:
Então,
Simplificando:
Passo 4
Agora vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
.
Substituindo
:
Calculando cada termo:
Então:
A inclinação da reta tangente é 16.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente (
) e o ponto de contato
, podemos montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Para a reta normal, a inclinação é o inverso negativo da inclinação da tangente:
Usando a mesma forma ponto-inclinação:
Resposta
A equação da reta tangente à curva em
é
e a equação da reta normal é
.