Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto correspondente ao valor x indicado.
g(x)=raizx ln (x^2-15), x=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva definida por g(x) = raizx ln (x^2 - 15) no ponto onde x = 4 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação das retas e, depois, montar as equações das retas tangente e normal. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de g(x) quando x = 4 . Isso vai nos dar o ponto de contato onde as retas tangente e normal vão passar. Substituindo:
g(4) = raiz4 ln (4^2 - 15) = 2 ln (16 - 15) = 2 ln (1) = 2 times 0 = 0
Então, o ponto de contato é (4, 0) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de g(x) para descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos derivar g(x) = raizx ln (x^2 - 15) .
Primeiro, reescrevemos raizx como x^1/2 para facilitar a diferenciação:
g(x) = x^1/2 ln (x^2 - 15)
Vamos usar a regra do produto para derivar g(x) :
g'(x) = ddx[x^1/2] cdot ln (x^2 - 15) + x^1/2 cdot ddx[ln (x^2 - 15)]
Calculando cada parte:
ddx[x^1/2] = 12 x^-1/2
ddx[ln (x^2 - 15)] = 2xx^2 - 15
Então,
g'(x) = 12 x^-1/2 ln (x^2 - 15) + x^1/2 cdot 2xx^2 - 15
Simplificando:
g'(x) = ln (x^2 - 15)2 raizx + 2x^3/2x^2 - 15

Passo 4

Agora vamos calcular g'(4) para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto x = 4 .
Substituindo x = 4 :
g'(4) = ln (4^2 - 15)2 raiz4 + 2 times 4^3/24^2 - 15
Calculando cada termo:
4^2 - 15 = 16 - 15 = 1
ln (1) = 0
4^3/2 = (4^1/2)^3 = 2^3 = 8
Então:
g'(4) = 02 times 2 + 2 times 81 = 0 + 16 = 16
A inclinação da reta tangente é 16.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( mt = 16 ) e o ponto de contato (4, 0) , podemos montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y - y1 = mt (x - x1)
Substituindo:
y - 0 = 16 (x - 4) implies y = 16x - 64
Para a reta normal, a inclinação é o inverso negativo da inclinação da tangente:
mn = -1mt = -116
Usando a mesma forma ponto-inclinação:
y - 0 = -116 (x - 4) implies y = -116x + 416 = -116x + 14

Resposta

A equação da reta tangente à curva em x = 4 é y = 16x - 64 e a equação da reta normal é y = -116x + 14 .

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