Se f(x)=|sen x|, encontre f^prime(x).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=l|sin xr|
e pede f'(x). O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia aliada à derivada de valor absoluto: se g(x)=|u(x)|, então
g'(x)=u'(x),sgnl(u(x)r),
desde que u(x)neq0. Aqui u(x)=sin x, então u'(x)=cos x e precisamos analisar o sinal de sin x.

Passo 2

Para x tais que sin x>0 (ou seja, xinl(2kpi,2kpi+pir) para kinZ), temos
f(x)=sin x
e, portanto,
f'(x)=ddxl(sin xr)=cos x

Passo 3

Para x tais que sin x<0 (ou seja, xinl(2kpi+pi,2kpi+2pir)), temos
f(x)=-sin x
e, portanto,
f'(x)=ddxl(-sin xr)=-cos x

Passo 4

Quando sin x=0, isto é x=kpi, a função l|sin xr| tem canto (cúspide), pois os limites laterais de f'(x) são pmcos(kpi), que não coincidem. Logo, f não é diferenciável em x=kpi.

Resposta

f'(x)= cos x, & xinl(2kpi,2kpi+pir), -cos x,& xinl(2kpi+pi,2kpi+2pir), não existe,& x=kpi, kinZ ã

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