Se g(x)=sen|x|, encontre g^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=senlvert xrvert. Isso envolve usar a definição da derivada de lvert xrvert e depois a regra da cadeia para compor com a função seno.

Passo 2

Definimos u(x)=lvert xrvert. Sabemos que, para xneq0,
ddx,u(x) =ddx,lvert xrvert =sgn(x) = 1,&x>0, -1,&x<0

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em g(x)=sen(u(x)). Como ddul(senur)=cos(u), temos para xneq0:
g'(x) =cosl(u(x)r)cdot u'(x) =cosl(lvert xrvertr),sgn(x)

Passo 4

Para escrever de forma explícita em cada região:
g'(x) =cosl(lvert xrvertr),sgn(x) = cos(x),&x>0, -cos(x),&x<0

Passo 5

Falta checar x=0. As derivadas laterais são
limhto0^+g(h)-g(0)h=limhto0^+sin(h)-0h=1
e
limhto0^-g(h)-g(0)h=limhto0^-sin(-h)-0h=-1.
Como não coincidem, g não é diferenciável em x=0.

Resposta

g'(x)= cos(x),&x>0, -cos(x),&x<0, e não existe em x=0 ã

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