Determine a equação da reta tangente e da reta normal a função f(x) = (x + 2) / (x^2 - 3) + x para x = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à função no ponto onde . Isso envolve cálculo de derivadas para achar a inclinação da tangente e da normal, além de calcular o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Isso nos dá o ponto onde a reta tangente e a normal vão tocar a curva.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A função é:
Vamos derivar cada parte:
Para , usamos a regra do quociente:
Se e , então:
Calculando e :
Então:
Além disso, a derivada de é 1, então a derivada total de é:

Passo 4

Vamos calcular , que é a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Então, a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Se a inclinação da tangente é , então a inclinação da normal é:

Passo 6

Agora, vamos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
Para a reta tangente, usando o ponto e :
Para a reta normal, usando o mesmo ponto e :

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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