Determine a equação da reta tangente e da reta normal a função
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à função
no ponto onde
. Isso envolve cálculo de derivadas para achar a inclinação da tangente e da normal, além de calcular o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Isso nos dá o ponto onde a reta tangente e a normal vão tocar a curva.
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A função é:
Vamos derivar cada parte:
Para
, usamos a regra do quociente:
Se
e
, então:
Calculando
e
:
Então:
Além disso, a derivada de
é 1, então a derivada total de
é:
Passo 4
Vamos calcular
, que é a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Então, a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Se a inclinação da tangente é
, então a inclinação da normal é:
Passo 6
Agora, vamos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação, que é:
Para a reta tangente, usando o ponto
e
:
Para a reta normal, usando o mesmo ponto e
:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.