Enumere e explique os métodos que pode aplicar para analisar a convergência das sequências.
3. Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados:
a) lim n infty 2 n-1)n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas aqui: primeiro, listar e explicar os métodos que podemos usar para analisar se uma sequência converge. Depois, vamos aplicar um desses métodos para verificar se a sequência converge. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre os métodos que podemos usar para analisar a convergência das sequências. Aqui estão alguns dos principais:
  1. Método do Limite do Termo Geral: A gente calcula o limite da sequência conforme vai para o infinito. Se esse limite existir e for um número real, a sequência converge para esse valor.
  2. Critério da Monotonicidade e Boundedness (Monótona e Limitada): Se a sequência for crescente (ou decrescente) e estiver limitada acima (ou abaixo), então ela converge.
  3. Critério da Comparação: A gente compara a sequência com outra que já sabemos se converge ou não. Se a sequência em questão for menor que uma sequência convergente, ela também converge.
  4. Teste da Razão (ou Critério de Cauchy): Calculamos o limite da razão entre termos consecutivos da sequência. Se esse limite for menor que 1, a sequência converge.
  5. Teste da Raiz: Calculamos a raiz enésima do valor absoluto do termo geral e vemos o comportamento desse limite.
Cada um desses métodos é útil dependendo do tipo de sequência que estamos analisando.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método do Limite do Termo Geral para verificar se a sequência 2n - 1n converge. Esse método é bem direto: a gente calcula o limite da expressão conforme 2nn - 1n = 2 - 1n vai para o infinito.
Vamos lá:
Primeiro, observamos a expressão da sequência:
limn infty (2 - 1n)
Podemos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador por 2 - 0 = 2 :
Agora, vamos calcular o limite conforme vai para o infinito:
Sabemos que tende a 0 conforme cresce para o infinito. Então:
Portanto, o limite da sequência é 2.

Resposta

A sequência converge para 2 conforme tende ao infinito.

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