Enumere e explique os métodos que pode aplicar para analisar a convergência das sequências.
3. Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados:
a)
3. Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas aqui: primeiro, listar e explicar os métodos que podemos usar para analisar se uma sequência converge. Depois, vamos aplicar um desses métodos para verificar se a sequência
converge. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre os métodos que podemos usar para analisar a convergência das sequências. Aqui estão alguns dos principais:
-
Método do Limite do Termo Geral: A gente calcula o limite da sequência conforme
vai para o infinito. Se esse limite existir e for um número real, a sequência converge para esse valor. -
Critério da Monotonicidade e Boundedness (Monótona e Limitada): Se a sequência for crescente (ou decrescente) e estiver limitada acima (ou abaixo), então ela converge.
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Critério da Comparação: A gente compara a sequência com outra que já sabemos se converge ou não. Se a sequência em questão for menor que uma sequência convergente, ela também converge.
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Teste da Razão (ou Critério de Cauchy): Calculamos o limite da razão entre termos consecutivos da sequência. Se esse limite for menor que 1, a sequência converge.
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Teste da Raiz: Calculamos a raiz enésima do valor absoluto do termo geral e vemos o comportamento desse limite.
Cada um desses métodos é útil dependendo do tipo de sequência que estamos analisando.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método do Limite do Termo Geral para verificar se a sequência
converge. Esse método é bem direto: a gente calcula o limite da expressão conforme
vai para o infinito.
Vamos lá:
Primeiro, observamos a expressão da sequência:
Podemos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador por
:
Agora, vamos calcular o limite conforme
vai para o infinito:
Sabemos que
tende a 0 conforme
cresce para o infinito. Então:
Portanto, o limite da sequência é 2.
Resposta
A sequência
converge para 2 conforme
tende ao infinito.