Escreva os cinco primeiros termos das sequências: e_n = (1 + 2 * 10^n) / (5 + 3 * 10^n)
2. Enumere e explique os métodos que pode aplicar para analisar a convergência das sequências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A primeira parte pede para a gente escrever os cinco primeiros termos da sequência . Além disso, a segunda parte quer que a gente enumere e explique os métodos que podemos usar para analisar a convergência de sequências. Vamos precisar entender um pouco sobre sequências e limites para isso.

Passo 2

Vamos começar encontrando . Substituímos por 1 na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos para :

Passo 4

Continuando, calculamos :

Passo 5

Vamos para :

Passo 6

Por fim, calculamos :

Passo 7

Agora, sobre os métodos para analisar a convergência das sequências, vamos listar e explicar alguns:
  1. Limite da Sequência: Verifica-se se existe um número para o qual os termos da sequência se aproximam conforme aumenta. Se existir, a sequência converge para esse número.
  2. Critério da Razão: Compara-se o limite da razão entre termos consecutivos. Se o limite for menor que 1, a sequência converge.
  3. Critério da Raiz: Analisa-se o limite da raiz -ésima dos termos. Se for menor que 1, a sequência converge.
  4. Monotonicidade e Boundedness (Monótona e Limitada): Se a sequência é crescente e limitada acima, ou decrescente e limitada abaixo, então ela converge.
  5. Teorema de Bolzano-Weierstrass: Diz que toda sequência limitada em tem pelo menos um ponto de acumulação (subsequência convergente).

Resposta

Os cinco primeiros termos da sequência são:
Além disso, os métodos para analisar a convergência das sequências incluem o limite da sequência, critério da razão, critério da raiz, análise de monotonicidade e limite, e o Teorema de Bolzano-Weierstrass.

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