Encontre uma função f não nula tal que f, f^{\prime} e f^{\prime \prime} formem uma PA. Encontre uma função g não nula tal que g, g^{\prime} e g^{\prime \prime} formem uma PG.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  1. Encontrar uma função não nula f tal que os três termos f,\;f' e f'' formem uma progressão aritmética (PA).
  2. Encontrar uma função não nula g tal que os três termos g,\;g' e g'' formem uma progressão geométrica (PG).
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • As funções procuradas devem ser pelo menos duas vezes diferenciáveis para que f',f'' e g',g'' existam.
  • “Não nula” significa que a função não é identicamente zero (pode ter valores zero em pontos isolados, mas não ser a função zero para todo x).
  • Vou trabalhar com as relações algébricas que definem PA e PG e traduzi-las em equações diferenciais para achar as funções.

Passo 2

Condição de PA transformada em equação diferencial. Lembre-se: três números a,b,c estão em PA se e somente se
2b = a + c.
Aplicando isso às funções, com a=f,\\ b=f',\\ c=f'', obtemos a equação
2f' = f + f''.
Reescrevendo para formar uma equação diferencial linear:
f'' - 2f' + f = 0.
Explicação do que isso é: é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão para resolver é assumir soluções da forma f(x)=e^{rx} e resolver a equação característica associada.

Passo 3

Formação e resolução da equação característica. Assumindo f(x)=e^{rx} e substituindo em f'' - 2f' + f = 0 dá a equação polinomial em r:
r^2 - 2r + 1 = 0.
Essa é a chamada equação característica. Vamos resolvê-la:
r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0,
logo r=1 é raiz dupla. Quando a equação característica tem uma raiz dupla r_0, a solução geral da equação diferencial é
f(x) = (A + Bx)e^{r_0 x}.
Aqui r_0=1, então a solução geral é
f(x) = (A + Bx)e^{x},
onde A e B são constantes reais. Para garantir que f não seja a função nula, escolhemos A e B não simultaneamente zero.

Passo 4

Verificação direta (mostre sempre na prova!). Vamos calcular f' e f'' explicitamente para verificar que f,f',f'' estão em PA.
Defina u(x)=A+Bx e v(x)=e^{x}, de modo que f(x)=u(x)v(x). Usamos a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
  • u'(x)=B.
  • v'(x)=e^{x}.
Então
f'(x) = u'v + uv' = B e^{x} + (A+Bx)e^{x} = (A + (B+B)x)e^{x} = (A + 2Bx)e^{x}.
Agora derivamos novamente:
Para f'(x)=(A + 2Bx)e^{x}, aplicando a regra do produto com u_1(x)=A+2Bx e v(x)=e^x:
  • u_1'(x)=2B.
Então
f''(x) = u_1'v + u_1 v' = 2B e^{x} + (A + 2Bx)e^{x} = (A + (2B+2B)x)e^{x} = (A + 4Bx)e^{x}.
Agora verificamos a condição de PA:
Calcule 2f'(x):
2f'(x) = 2(A + 2Bx)e^{x} = (2A + 4Bx)e^{x}.
Calcule f(x)+f''(x):
f(x)+f''(x) = (A+Bx)e^{x} + (A+4Bx)e^{x} = (2A + 5Bx)e^{x}.
Percebi um erro de contagem: vamos refazer cuidadosamente as derivadas (paciência, isso acontece na prova — é importante verificar passo a passo).
Refazendo cálculo de f' corretamente:
Começamos com f(x)=(A+Bx)e^{x}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x) = (A+Bx)' e^{x} + (A+Bx) e^{x} = B e^{x} + (A+Bx)e^{x} = (A + Bx + B)e^{x} = (A + B + Bx)e^{x}.
Logo
f'(x) = (A + B + Bx)e^{x}.
Agora derivamos f':
f''(x) = (A + B + Bx)' e^{x} + (A + B + Bx) e^{x} = B e^{x} + (A + B + Bx)e^{x}.
Assim
f''(x) = (A + 2B + Bx)e^{x}.
Agora sim, compare:
2f'(x) = 2(A + B + Bx)e^{x} = (2A + 2B + 2Bx)e^{x},
e
f(x) + f''(x) = (A+Bx)e^{x} + (A + 2B + Bx)e^{x} = (2A + 2B + 2Bx)e^{x}.
Portanto
2f'(x) = f(x) + f''(x)
para toda x. Isso confirma que f,f',f'' estão em PA. (Eu cometi uma pequena confusão antes; isso é normal — o importante é refazer as contas com calma.)

Passo 5

Conclusão para a PA. Assim a família de funções
f(x) = (A + Bx)e^{x},\qquad (A,B)\neq(0,0),
satisfaz a condição pedida. Escolhendo, por exemplo, A=1, B=0 obtemos f(x)=e^{x} que funciona; outro exemplo A=0,B=1 f(x)=x e^{x} — ambos não nulos e válidos.

Passo 6

Condição de PG transformada em equação diferencial. Três números a,b,c estão em PG se e só se
b^2 = a c.
Aplicando às funções, com a=g,\\ b=g',\\ c=g'', obtemos
(g')^2 = g\, g''.
Vamos manipular isso para obter uma equação mais simples. Observe que
\left(\frac{g'}{g}\right)' = \frac{g''g - (g')^2}{g^2}.
Portanto a condição (g')^2 = g g'' é equivalente a
g''g - (g')^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \left(\frac{g'}{g}\right)' = 0.
Isso significa que \dfrac{g'}{g} é constante. Denotemos essa constante por k:
\frac{g'(x)}{g(x)} = k,\qquad k\in\mathbb{R}.

Passo 7

Resolver \dfrac{g'}{g}=k. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem separável (ou podemos reconhecer como (\ln g)' = k). Integramos:
\frac{d}{dx}\big(\ln |g(x)|\big) = k \quad\Longrightarrow\quad \ln |g(x)| = kx + C.
Tomando exponencial:
|g(x)| = e^{C} e^{kx}.
Ou seja, g(x) = A e^{kx}, onde A é uma constante real não nula (podemos absorver o sinal em A). Como o enunciado pede uma função não nula, tomamos A\neq 0. Note que o caso k=0 dá funções constantes g(x)=A\neq0, que também satisfazem a condição porque então g'=0,g''=0 e 0^2 = A\cdot 0 é verdade (é uma PG com razão 0).

Passo 8

Verificação direta para a PG (sempre bom checar). Para g(x)=A e^{kx} temos
g'(x) = kA e^{kx} = k g(x),\qquad g''(x) = k^2 A e^{kx} = k^2 g(x).
Então
(g')^2 = (k g)^2 = k^2 g^2 = g\cdot (k^2 g) = g\, g'',
logo a condição de PG é satisfeita para todo x.

Resposta

f(x) = (A + Bx)e^{x},\quad (A,B)\neq(0,0).\n g(x) = A e^{kx},\quad A\neq0,\\ k\in\mathbb{R}.

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