Encontre uma função
não nula tal que
e
formem uma PA. Encontre uma função
não nula tal que
e
formem uma PG.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
- Encontrar uma função não nula
tal que os três termos e formem uma progressão aritmética (PA). - Encontrar uma função não nula
tal que os três termos e formem uma progressão geométrica (PG).
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
- As funções procuradas devem ser pelo menos duas vezes diferenciáveis para que
e existam. - “Não nula” significa que a função não é identicamente zero (pode ter valores zero em pontos isolados, mas não ser a função zero para todo
). - Vou trabalhar com as relações algébricas que definem PA e PG e traduzi-las em equações diferenciais para achar as funções.
Passo 2
Condição de PA transformada em equação diferencial. Lembre-se: três números
estão em PA se e somente se
Aplicando isso às funções, com
, obtemos a equação
Reescrevendo para formar uma equação diferencial linear:
Explicação do que isso é: é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão para resolver é assumir soluções da forma
e resolver a equação característica associada.
Passo 3
Formação e resolução da equação característica. Assumindo
e substituindo em
dá a equação polinomial em
:
Essa é a chamada equação característica. Vamos resolvê-la:
logo
é raiz dupla. Quando a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é
Aqui
, então a solução geral é
onde
e
são constantes reais. Para garantir que
não seja a função nula, escolhemos
e
não simultaneamente zero.
Passo 4
Verificação direta (mostre sempre na prova!). Vamos calcular
e
explicitamente para verificar que
estão em PA.
Defina
e
, de modo que
. Usamos a regra do produto:
.
-
. -
.
Então
Agora derivamos novamente:
Para , aplicando a regra do produto com
e
:
Para
-
.
Então
Agora verificamos a condição de PA:
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Percebi um erro de contagem: vamos refazer cuidadosamente as derivadas (paciência, isso acontece na prova — é importante verificar passo a passo).
Refazendo cálculo de
corretamente:
Começamos com .
Aplicando a regra do produto:
Começamos com
Aplicando a regra do produto:
Logo
Agora derivamos
:
Assim
Agora sim, compare:
e
Portanto
para toda
. Isso confirma que
estão em PA. (Eu cometi uma pequena confusão antes; isso é normal — o importante é refazer as contas com calma.)
Passo 5
Conclusão para a PA. Assim a família de funções
satisfaz a condição pedida. Escolhendo, por exemplo,
obtemos
que funciona; outro exemplo
dá
— ambos não nulos e válidos.
Passo 6
Condição de PG transformada em equação diferencial. Três números
estão em PG se e só se
Aplicando às funções, com
, obtemos
Vamos manipular isso para obter uma equação mais simples. Observe que
Portanto a condição
é equivalente a
Isso significa que
é constante. Denotemos essa constante por
:
Passo 7
Resolver
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem separável (ou podemos reconhecer como
). Integramos:
Tomando exponencial:
Ou seja,
, onde
é uma constante real não nula (podemos absorver o sinal em
). Como o enunciado pede uma função não nula, tomamos
. Note que o caso
dá funções constantes
, que também satisfazem a condição porque então
e
é verdade (é uma PG com razão
).
Passo 8
Verificação direta para a PG (sempre bom checar). Para
temos
Então
logo a condição de PG é satisfeita para todo
.