Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. f(x)=(2+x)e^(-x) em x = 0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso vai nos dar o ponto de tangência na curva.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente. A função é um produto de e , então vamos usar a regra do produto para derivar.
A regra do produto diz que se temos , a derivada é:
Onde:
  • e
  • e
Aplicando a regra:
Podemos simplificar isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto :
Isso significa que a inclinação da reta tangente nesse ponto é -1.

Passo 5

Com o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a fórmula da reta:
Onde :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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