A função
é derivável em
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão: “A função
é derivável em
?”.
Aqui, estamos lidando com derivadas, que é um conceito de cálculo que estuda como as funções mudam. Para descobrir se a função é derivável em
, precisamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Vamos precisar entender o que é derivada e como calcular o limite que define a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto é o limite da razão de variação quando o intervalo tende a zero. Ou seja,
No nosso caso, queremos a derivada em
:
Passo 3
Antes de mais nada, vamos calcular
. Substituindo
na função:
Aqui, temos uma indeterminação
, o que significa que
não está definida. Isso já nos dá um indicativo de que pode haver um problema na derivabilidade em
, mas vamos continuar para verificar.
Passo 4
Vamos analisar o limite:
Como
não está definida, precisamos entender o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Vamos reescrever
:
Então, para
:
Passo 5
Agora, substituímos na expressão do limite:
Como
é indeterminado, precisamos considerar os limites laterais para
aproximando-se de 0 pela direita (
) e pela esquerda (
) separadamente.
Passo 6
Vamos calcular o limite pela direita:
Agora, o limite pela esquerda:
Passo 7
Observamos que os limites laterais não são iguais:
Como os limites laterais são diferentes (um vai para
e o outro para
), o limite geral não existe.
Resposta
A função
não é derivável em
, pois o limite que define a derivada não existe nesse ponto.