A função f(x) = |x| / x^2 é derivável em x = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão: “A função é derivável em ?”.
Aqui, estamos lidando com derivadas, que é um conceito de cálculo que estuda como as funções mudam. Para descobrir se a função é derivável em , precisamos verificar se a derivada existe nesse ponto. Vamos precisar entender o que é derivada e como calcular o limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto é o limite da razão de variação quando o intervalo tende a zero. Ou seja,
No nosso caso, queremos a derivada em :

Passo 3

Antes de mais nada, vamos calcular . Substituindo na função:
Aqui, temos uma indeterminação , o que significa que não está definida. Isso já nos dá um indicativo de que pode haver um problema na derivabilidade em , mas vamos continuar para verificar.

Passo 4

Vamos analisar o limite:
Como não está definida, precisamos entender o comportamento de quando se aproxima de 0. Vamos reescrever :
Então, para :

Passo 5

Agora, substituímos na expressão do limite:
Como é indeterminado, precisamos considerar os limites laterais para aproximando-se de 0 pela direita ( ) e pela esquerda ( ) separadamente.

Passo 6

Vamos calcular o limite pela direita:
Agora, o limite pela esquerda:

Passo 7

Observamos que os limites laterais não são iguais:
Como os limites laterais são diferentes (um vai para e o outro para ), o limite geral não existe.

Resposta

A função não é derivável em , pois o limite que define a derivada não existe nesse ponto.

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